2次体の整数



$\hspace{7em}項目6-10は別ファイルを読み込みます$


1 2次体とは


$有理数全体の集合Q,実数全体の集合Rや複素数全体の集合Cのように、四則演算が可能な数の$
$集合を「体」といいます。$

$\qquad 定義$
$\hspace{4em} Q(\sqrt{D})=\{x+y\sqrt{D}\ |\ x,y \in Q \} を2次体という$

$\qquad Dは平方因数を持たないとし、負の数でもよい。$


$Q(\sqrt{D}) が四則演算について閉じていることは、簡単にわかります。$

$D>0 \ のとき実2次体、D<0 \ のとき虚2次体といいます。$

$例えば$
$D=2\ のときは$
$\quad 実2次体で、要素は a+b\sqrt{2}、この計算は高校の数学1でよくやりました。$

$D=-1\ のときは$
$\quad 虚2次体で、要素は a+b\sqrt{-1}=a+bi、いわゆる複素数ですので、これもよくやりました。$


 

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2 共役数とノルム


$(1)\ \ 共役数$

$\alpha =a+b\sqrt{D}\ に対し、\overline{\alpha}=a-b\sqrt{D} \ を\alpha の共役数といいます。$
$次の性質が成りたちます。(証明は略します)$
$\qquad \overline{\alpha \pm \beta}=\overline{\alpha} \pm \overline{\beta},\qquad \overline{\alpha \ \beta }=\overline{\alpha}\ \overline{\beta},\qquad \overline {\big(\cfrac{\alpha}{\beta}\big)}=\cfrac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}$

$(2)\ \ ノルムとシュプール$

$\alpha \ \overline{\alpha}=a^2-Db^2 \ \ を\alpha のノルムといって \ N(\alpha)\ であらわします。$
$次の性質が成りたちます。$

(i)$\ \ N(\alpha \ \beta)=N(\alpha)N(\beta)$

$(証明)$
$\quad N(\alpha \ \beta)=(\alpha \ \beta) \overline{(\alpha \ \beta)}=\alpha \ \beta \ \overline{\alpha} \ \overline{\beta} =(\alpha \ \overline{\alpha})\ (\beta \ \overline{\beta})=N(\alpha)N(\beta)$

(ii)$\ \ N\big(\cfrac{\alpha}{\beta}\big)=\cfrac{N(\alpha)}{N(\beta)}$

$(証明)$
$\quad N(\beta)\ N\big(\cfrac{\alpha}{\beta}\big)=N\big(\beta \times \cfrac{\alpha}{\beta}\big)=N(\alpha)$
$\quad \therefore N\big(\cfrac{\alpha}{\beta}\big)=\cfrac{N(\alpha)}{N(\beta)}$


$また、\alpha +\overline{\alpha}=2a \ \ を\alpha のシュプール(あるいは \ トレース)といって \ S(\alpha)\ で表します。$

$N(\alpha) とS(\alpha) はともに有理数となります。$


 

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3 2次体の整数


$有理数の部分集合として、整数(今後これを有理整数といいます)を考えましたので、$
$2次体においても整数を考えましょう。$

$すぐに思いつくのは、a+b\sqrt{D} \ でa,bが有理整数のときです。$

$例えば$
$\quad a+b\sqrt{-1}=a+bi \ \ でa,bが有理整数のときは「ガウス整数」とよばれます。$

$では、これで整数の定義ができたかというと、2次体によってはもっと緩やかな定義でOKなのです。$

$有理整数でない有理数は、何乗しても有理数で、有理整数にはなりません。$

$ところが、Q(\sqrt{-3})\ において \qquad \big(-\cfrac{1}{2}+\cfrac{\sqrt{-3}}{2}\big)^3=\cfrac{(-1+\sqrt{-3})^3}{8}=1$

$このように、有理整数でない a=-\cfrac{1}{2},\ b=\cfrac{1}{2}\ \ に対して (a+b\sqrt{-3})^3\ \ が有理整数になる例があるのです。$
$このような数も整数とみなしたいので、整数の定義を拡張しましょう。$

$拡張の手がかりは、ノルムとシュプールにあります。$

$\qquad \alpha=-\cfrac{1}{2}+\cfrac{\sqrt{-3}}{2}  のとき \overline{\alpha}=-\cfrac{1}{2}-\cfrac{\sqrt{-3}}{2}  ですから$
$\qquad \alpha +\overline{\alpha}=-1,\qquad \alpha \ \overline{\alpha}=\cfrac{1}{4}-\cfrac{-3}{4}=1  はともに有理整数となります。$

$このように、\alpha \ を整数とすれば、\overline{\alpha}\ も整数となるから \ \ \alpha + \overline{\alpha}\ \ も\ \ \alpha \ \overline{\alpha}\ \ も整数$
$したがって N(\alpha)とS(\alpha) は整数。N(\alpha) とS(\alpha) はともに有理数だから有理整数。$
$そこで、次のように定義します。$

$\qquad 定義 \qquad N(\alpha) とS(\alpha) がともに有理整数のとき、\alpha \ は整数という。$


$例1\ \ a+b\sqrt{2}\ \ は$

$\quad 有理数a,bが有理整数ならば$
$\qquad N(\alpha)=\alpha \ \overline{\alpha}=a^2-Db^2 \ \ は有理整数, \quad S(\alpha)=\alpha +\overline{\alpha}=2a \ \ は有理整数$
$\quad よって、 a+b\sqrt{2}\ \ は整数になります$

$例2\ \ a+bi\ \ は$

$\quad 有理数a,bが有理整数ならば$
$\qquad N(\alpha)=\alpha \ \overline{\alpha}=a^2+b^2 \ \ は有理整数, \quad S(\alpha)=\alpha +\overline{\alpha}=2a \ \ は有理整数$
$\quad よって、 a+bi\ \ は整数になります$

$例3\ \ Q(\sqrt{-3})\ \ の整数について考えてみましょう。$

$\quad 1の立方根の虚根の1つを\omega とおくと \omega=\cfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}$
$\quad もう1つは \omega ^2=\cfrac{-1-\sqrt{-3}}{2} \ \ だから \overline{\omega}\ とおける。$
$\qquad \omega + \overline{\omega}=-1,\quad \omega \ \overline{\omega}=\omega ^3=1$

$a,bを有理整数として、a+b\ \omega \ \ の形の数の集合を考えましょう。$

$\qquad a+b\ \omega =a+b\big(\cfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}\big)=\big(a-\cfrac{b}{2}\big)+\cfrac{b}{2}\sqrt{-3}$
$これの共役数は$
$\qquad \big(a-\cfrac{b}{2}\big)-\cfrac{b}{2}\sqrt{-3}=a+b\big(\cfrac{-1-\sqrt{-3}}{2}\big)=a+b\ \overline{\omega}$
$すると$
\begin{eqnarray*} N(a+b\ \omega) &=&(a+b\ \omega)(\overline{a+b\ \omega})\\ &=&(a+b\ \omega)(a+b\ \overline{\omega})\\ &=&a^2+ab(\omega + \overline{\omega})+b^2\omega \ \overline{\omega}\\ &=&a^2-ab+b^2\\ &=&\big(a-\cfrac{b}{2} \big)^2+\cfrac{3}{4}b^2\\ \end{eqnarray*} $となって、ノルムは正または0の有理整数となる。$
$また、シュプールは$
$\qquad S(a+b\ \omega) =(a+b\ \omega)+(a+b\ \overline{\omega})=2a-b$
$となって、正または0の有理整数となる。$

$そこで、a+b\ \omega \ \ でa,\ b\ \ が有理整数となるものをQ(\sqrt{-3})の整数とします。$


$一般に、Q(\sqrt{D})の整数を上のように定義すると、整数\alpha の形について、次の定理が成り立ちます。$

$定理 \qquad Q(\sqrt{D})の整数は \alpha =a+b\ \omega \ \ (a,b は有理整数)$
\[ \hspace{5em} ただし  \omega = \left\{ \begin{array}{l} \cfrac{1+\sqrt{D}}{2} \hspace{5em}(D \equiv 1 \ \ (mod \ \ 4)\ のとき)\\ \sqrt{D} \hspace{7em} (D \equiv 2,3 \ \ (mod \ \ 4)\ のとき)\\ \end{array} \right. \]

$(証明)$
$\hspace{2em}\alpha =a+b\sqrt{D}\ \ (a,b\ は有理数)を整数とすると、S(\alpha)=2a , \ \ N(\alpha)=a^2-Db^2 \ \ はともに整数$
$\hspace{2em}2a=p \ \ とおくと、\quad 4N(\alpha)=(2a)^2-D(2b)^2=p^2-D(2b)^2$
$\hspace{2em}これをrとおくと、\quad D(2b)^2=p^2-r$

$\hspace{2em}2b=\cfrac{n}{m} \ \ (m,\ n \ は有理整数)\ とおくと、\quad D \times \cfrac{n}{m} \times \cfrac{n}{m}=p^2-r$

$\hspace{2em}D はmを因数に持ったとしても、平方因数はもたないから D=mk $

$\hspace{2em}左辺=mk \times \cfrac{n}{m} \times \cfrac{n}{m}=\cfrac{kn^2}{m}$

$\hspace{2em}となって、分母にmが残る。これが右辺のような整数となるには \ \ m=1$
$\hspace{2em}よって 2b も有理整数となる。そこで、2b=q \ \ とおくと$

$\hspace{3em}N(\alpha)=\big(\cfrac{p}{2}\big)^2-D\big(\cfrac{q}{2}\big)^2=\cfrac{p^2-Dq^2}{4}$

$\hspace{2em}N(\alpha) は有理整数だから p^2-Dq^2 \equiv 0 \qquad (mod \ \ 4 )$

$(1)\ \ D=1 \quad (mod \ \ 4)\ のとき$

$\hspace{3em} p^2-q^2 \equiv 0 \qquad (mod \ \ 4 )$
$\hspace{3em}(p+q)(p-q) \ \ は4で割り切れるから、p+q \ または \ p-q \ は少なくとも2の倍数$

$\hspace{2em}p+q\ が2の倍数ならば p-q=(p+q)-2q \ も2の倍数となるから、p \equiv q \quad (mod \ \ 2)$
$\hspace{2em}よって$
$\hspace{3em}\alpha =a+b\sqrt{D}=\cfrac{p}{2}+\cfrac{q}{2}\sqrt{D}=\cfrac{p-q}{2}+q\cfrac{1+\sqrt{D}}{2}$

$\hspace{2em}あらためて a=\cfrac{p-q}{2},\quad b=q ,\quad \omega = \cfrac{1+\sqrt{D}}{2}とおくと \alpha =a+b\omega \quad (a,b は有理整数)$

$(2)\ \ D=2 \quad (mod \ \ 4)\ のとき$

$\hspace{3em} p^2-2q^2 \equiv 0 \qquad (mod \ \ 4 )$
$\hspace{3em} p^2-2q^2=4r \ \ (rは有理整数) とおけるから$
$\hspace{3em} p^2=2(q^2+2r) \ \ より\ p^2\ は2の倍数 よって p\ は2の倍数$

$\hspace{2em}すると p^2 は4の倍数となるから\ \ q^2+2r \ \ は2の倍数$
$\hspace{2em}よって q^2 は2の倍数となり、qは2の倍数$
$\hspace{2em}したがって p,\ q \ はともに2の倍数$
 
$(3)\ \ D=3 \quad (mod \ \ 4)\ のとき$

$\hspace{3em} p^2-3q^2 \equiv 0 \qquad (mod \ \ 4 )$
$\hspace{2em} p,q がともに2の倍数であることを、背理法で示す$

$\hspace{2em}qが奇数とすると q=2r+1 \ \ とおけるから q^2=4(r^2+r)+1 \equiv 1 \ \ (mod \ 4)$
$\hspace{3em} \therefore p^2 \equiv 3 \quad (mod \ \ 4)$

$\hspace{2em}ところが 任意の有理整数uにおいて$
$\hspace{2em}4を法として 1^2 \equiv 1,\ \ 2^2 \equiv 0,\ \ 3^2 \equiv 1 \ \ だから u^2 \equiv 0,1 $
$\hspace{2em}したがって p^2 \equiv 3 \ \ はありえないから q は偶数である。$

$\hspace{2em}すると p^2 は偶数となり、pは偶数がいえる。$

$\hspace{2em}これで、 p,q はともに2の倍数である。$

$(2),(3)の場合は、p,q はともに2の倍数となるから、a=\cfrac{p}{2},\ b=\cfrac{q}{2}\ \ はともに有理整数となる。$
$したがって、\omega =\sqrt{D}\ \ とおくと  \alpha =a+b\omega \ \ (a,\ b は有理整数)とおける。$


 

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4 最小公倍数・最大公約数


$(1)\ \ 倍数と約数$

$有理整数と同様に、2次体の整数においても倍数や約数が考えられます。$

$Q(\sqrt{D})の整数\alpha,\beta について、\cfrac{\alpha}{\beta}=\gamma \ \ となる整数\gamma が存在するとき$
$\alpha は\beta で割り切れるといい、\alpha を \beta の倍数、\beta を \alpha の約数(因数)といいます。$

$例1\ \ Q(\sqrt{-1})\ \ において$

$\quad 3+i=(1+2i)(1-i) \ \ だから 1+2i,1-i \ \ は\ 3+i \ の約数$
$\quad (1+i)(1-i)=2,\ \ (1+i)(1-2i)=3-i \ \ だから$
$\quad 2\ と\ 3-i\ は\ \ 1+i\ の公倍数、1+i \ は\ 2\ と\ 3-i \ の公約数$

$例2\ \ Q(\sqrt{2})\ \ において$

$\quad (1+2\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=-3+\sqrt{2} \ \ だから 1+2\sqrt{2},\ \ 1-\sqrt{2}\ \ は\ \ -3+\sqrt{2}\ \ の約数$
$\quad (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=-1,\ \ (1+\sqrt{2})(1-2\sqrt{2})=-3+\sqrt{2} \ \ だから$
$\quad -1 \ と\ -3-\sqrt{2}\ \ は\ 1+\sqrt{2}\ の公倍数、1+\sqrt{2}\ \ は\ -1\ と\ -3-\sqrt{2}\ \ の公約数$


$次の定理が成り立ちます。$

$\qquad 定理 \quad \alpha\ \beta \ \ が整数で、\alpha が\beta で割り切れるならば、N(\alpha) はN(\beta)で割り切れる。$


$(証明)$
$\hspace{2em} \alpha =\beta \ \gamma \ \ (\gamma は整数)とおけるから、N(\alpha) =N(\beta) \ N(\gamma) $
$\hspace{2em}よって、 N(\alpha) \ \ は\ N(\beta) で割り切れる。$


$(2)\ \ 最小公倍数と最大公約数$

$\quad 整数\ \alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots ,\ \alpha_n \ \ に共通な倍数を公倍数、共通な約数を公約数といいます。$

$\qquad 公倍数のうち、ノルムの絶対値が最小のものを最小公倍数といい、$
$\qquad 公約数のうち、ノルムの絶対値が最大のものを最大公約数といいます。$


 

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5 単数・同伴数


$(1)\ \ 単数$

$有理整数\ 1\ はすべての有理整数の約数ですが、同様に2次体においてもすべての整数の約数で$
$ある整数を単数といって、\varepsilon \ で表します。$

$1は整数だから\varepsilon は1の約数であり、\cfrac{1}{\varepsilon}=\varepsilon ' \ \ は整数となるから \varepsilon \ \varepsilon '=1$
$\quad N(\varepsilon \ \varepsilon ')=N(\varepsilon)N(\ \varepsilon ')=1$

$\varepsilon \ \ は整数だから N(\varepsilon) は有理整数 したがって N(\varepsilon )=\pm 1$

$\qquad 定理 \hspace{5em} 単数 \ \ \varepsilon \ \ は \ \ N(\varepsilon )=\pm 1$



$例1\ \ ガウス整数の単数$

$\quad \varepsilon=a+bi \ \ とおくと N(\varepsilon)=a^2+b^2=1$
$これを解いて (a,b)=(1,0),\ (-1,0),\ (0,1),\ (0,-1) \ \ よって \varepsilon =\pm 1,\ \ \pm i\ \ の4個$

$このように、有理整数と違って、2次体では単数は複数ある場合もあります。$

$例2 Q(\sqrt{2}) \ \ の単数$

$\quad \varepsilon=a+b\sqrt{2} \ \ とおくと N(\varepsilon)=a^2-2b^2=\pm 1 \ \ を解いて$

(i)$\ \ a^2-2b^2=1 \ \ のとき (a,b)=(1,0),\ \ (-1,0)\ \ がすぐに求まるから \varepsilon =\pm 1 $

(ii)$\ \ a^2-2b^2=-1 \ \ のとき (a,b)=(1,1),\ \ (-1,1),\ \ (1,-1),\ \ (-1,-1)\ \ がすぐに求まるから$

$\hspace{4em} \varepsilon =1+\sqrt{2},\ \ -1+\sqrt{2},\ \ 1-\sqrt{2},\ \ -1-\sqrt{2}$

$ところが、これですべてではありません。単数の積も単数となりますから$
$例えば (1+\sqrt{2})^2,\ \ (1+\sqrt{2})^3,\ \ \cdots ,\ \ (1+\sqrt{2})^n ,\ \ \cdots \ \ も単数となります。$
$したがって、Q(\sqrt{2}) の単数は無数あることになります。$
$これは驚きですね。単数が無数あるなんて!!$


$一般に\ 2次体 \ \ Q(\sqrt{D}) \ \ の単数を求めるには、不定方程式 x^2-Dy^2=\pm 1\ \ (Dは平方数でない、$
$自然数,\ \ x,\ y\ は自然数)を解くことになりますが、これを「ペル方程式」といいます。$

$とくに \ \ D=2\ のとき$

$\quad x^2-2y^2=1 \hspace{4em}(1) \hspace{5em} x^2-2y^2=-1 \hspace{4em}(2)$

$(1)の最小自然数解は (x,y)=(3,2)\ \ ですので$
$\alpha =3+2\sqrt{2}\ \ とおくと、\pm 1\ 以外のすべての解は\ \ \alpha ^n=(3+2\sqrt{2})^n \ \ で求まります。$

$(2)の最小自然数解は (x,y)=(1,1)\ \ ですので$
$\alpha =1+\sqrt{2}\ \ とおくと \alpha ^n=(1+\sqrt{2})^n \ \ で(2)と(1)の解が交互に得られます。$

$ペル方程式については、後で詳しく解説する予定ですが、Q(\sqrt{2}) と密接に関連しています。$


$(2)\ \ 同伴数$

$\quad \cfrac{\beta}{\alpha}=\varepsilon \ \ となるとき、\beta \ と\ \alpha \ \ は同伴数といいます。$
$\quad \alpha の同伴数は \varepsilon \alpha \ \ と表せます。$

$例1 ガウス整数の同伴数$

$\quad \alpha \ の同伴数は \pm \alpha ,\ \ \pm \alpha \ i $



 

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