点と直線の距離



$直線lと、l上にない点Pがある。Pと\ l\ 上の点を結ぶ線分の長さが最小となる点は、$
$Pから \ l\ に垂線を引き、lとの交点Qが求める点である。$

$(証明)$
$右図のように、Pの \ l\ について対称な点をP'とし、$
$l上Qと異なる任意の点Aをとると$
$PP' \perp l, \quad PQ=P'Q$ より
$\hspace{1em} △PAQ \equiv △P'AQ$
$よって　 PA=P'A$
$また$
$△PAP'において、2辺の長さの和は他の1辺の長さ$
$より大きいから$
$\hspace{2em} PA+AP'>PP'$
$(証明は$三角形の辺と角の定理$を参考にしてください)$
$したがって$
$\hspace{2em} 2PA>2PQ , \quad PA>PQ$
$となって　PQの長さはどのような線分PAの長さよりも小さいことがいえる。$

$この線分PQの長さを点Pと直線lの距離といいます。$



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