岡山大学(理系) 2025年 問題2
$xyz\ 空間に\ おける \ 4\ 点 \ O (0,\ 0,\ 0),\ \ A(n,\ 0,\ 0),\ \ B(0,\ n,\ 0),\ \ C(0,\ 0,\ 2n)\ \ を頂点とする四面体OABC\ を$
$考える。ただし、n\ は \ 2\ 以上の整数とする。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 四面体OABC \ を平面 \ x=k \ で切ったとき、断面として現れる三角形 \ T_k\ のすべての頂点の座標を求めよ。$
$\quad ただし、k\ は整数で \ \ 1 \leqq k \leqq n-1 \ \ とする。$
$(2)\ \ (1)の三角形 \ T_k \ の内部に含まれ、y,\ z\ 座標がいずれも整数となる点の個数を \ n,\ k\ を用いて表せ。$
$\quad ただし、辺および頂点は内部に含まれないとする。$
$(3)\ \ 四面体 \ OABC \ の内部に含まれ、x,\ y,\ z\ 座標がいずれも整数となる点の個数を \ n\ を用いて表せ。$
$\quad ただし、面、辺、および頂点は内部に含まれないとする。$
$同様の問題が($群馬(理・医 )2025年の問題1$)で出題されています。$
(1)
(i)$\ \ 平面 \ x=k\ \ は \ x\ 軸に垂直だから \quad D(k,\ 0,\ 0)$
(ii)$\ \ 平面 \ x=k \ \ と線分AB\ との交点を \ E\ とすると$
$\quad 平面 \ x=k \ \ は \ y\ 軸に平行だから \quad DE /\!/ OB$
$\quad AD:AO=DE:OB \quad より \quad (n-k):n=DE:n$
$\quad DE=n-k \quad \therefore \ \ E(k,\ n-k,\ 0)$
(iii)$\ \ 平面 \ x=k \ \ と線分AC\ との交点を \ F\ とすると$
$\quad 平面 \ x=k\ \ は \ z\ 軸に平行だから \quad DF /\!/ OC$
$\quad AD:AO=DF:OC \quad より \quad (n-k):n=DF:2n$
$\quad DF=2(n-k) \quad \therefore \ \ F(k,\ 0,\ 2(n-k))$
(2)
$直線 \ EF\ は \ \ z=-2y+2n-2k \quad だから$
$直線 \ y=j\ \ (j\ は整数)\ \ 上において \ y, \ z\ 座標がいずれも整数となる点$
$(格子点といいます)は、辺および頂点が内部に含まれないから$
$1～ (-2j+2n-2k-1)\ \ の \ \ (-2j+2n-2k-1) \ \ 個ある。$
$したがって \quad T_k \ の内部に含まれる格子点の数 \ N_k\ は$
\begin{eqnarray*} N_k &=&\sum_{j=1}^{n-k-1} (-2j+2n-2k-1)\\ \\ &=&-2 \times \dfrac{(n-k-1)(n-k)}{2} +(2n-2k-1)(n-k-1)\\ \\ &=&(n-k-1)\big\{-(n-k) +(2n-2k-1)\big\}\\ \\ &=&(n-k-1)^2 \end{eqnarray*}
(3)
$四面体 \ OABC \ の内部に含まれる格子点の個数 \ N\ は$
$(2)の三角形T_k \ の内部に含まれる格子点の個数の \ k=1 ～(n-1)\ \ の和であるから$
\begin{eqnarray*} N &=&\sum_{k=1}^{n-1} N_k\\ \\ &=&\sum_{k=1}^{n-1} (n-k-1)^2\\ \\ &=&\sum_{k=1}^{n-1} \big(k-(n-1)\big)^2\\ \\ &=&\sum_{k=1}^{n-1} \big(k^2-2(n-1)k+(n-1)^2 \big)\\ \\ &=&\dfrac{n-1}{6} \times n(2(n-1)+1)-2(n-1) \times \dfrac{n-1}{2} \times n +(n-1)^2 \times (n-1)\\ \\ &=&\dfrac{n-1}{6}n(2n-1) - n(n-1)^2+(n-1)^3 \\ \\ &=&\dfrac{n-1}{6}\big\{n(2n-1) - 6n(n-1)+6(n-1)^2\big\} \\ \\ &=&\dfrac{n-1}{6}(2n^2-7n+6)\\ \\ &=&\dfrac{1}{6}(n-1)(n-2)(2n-3)\\ \end{eqnarray*}
メインメニュー に戻る