群馬大学(理・医) 2025年　問題1


$n\ を自然数とする。整数の組 \ (x,\ y)\ で表される座標平面上の点で、次の条件を満たすものの個数をそれぞれ$
$求めよ。$
$(1)\ \ 3\ 点 \ (0,\ 0),\ \ (n,\ 0),\ \ (0,\ 2n)\ \ を頂点とする三角形の辺上または内部にある。$
\[ (2)\ \ 連立不等式 \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} y \leqq n^2\\ y \geqq \dfrac{x^2}{4}\\ \end{array} \right. \quad で表される領域に含まれ、かつ \ \ x \geqq 0 \ \ を満たす。 \]


$同様の問題が($岡山(理系 )2025年の問題2$)で出題されています。$

(1)

　

$整数の組 \ (x,\ y)\ で表される座標平面上の点を格子点といいます。$

$直線AB\ は \quad y=-2x+2n$

$直線\ \ x=k\ \ 上の格子点 \ (x,\ y)\ は$

$(k,\ 0),\ \ (k,\ 1),\ \ \cdots , (k,\ -2k+2n)\ の\ (-2k+2n+1)\ 個$

$したがって、三角形の辺上または内部にある点の個数 \ N\ は$
\begin{eqnarray*} N &=&\sum_{k=0}^n(-2k+2n+1)\\ \\ &=&-2\sum_{k=0}^n k+ \sum_{k=0}^n(2n+1)\\ \\ &=&-2 \times \dfrac{n(n+1)}{2} +(2n+1) \times (n+1)\\ \\ &=&-n(n+1)+(2n+1)(n+1)\\ \\ &=&(n+1)^2 \quad (個) \end{eqnarray*}

(2)


$曲線 \ \ y=\dfrac{x^2}{4}\ \ 上の格子点は \quad \dfrac{x^2}{4}=a \ \ (a\ は整数)\ \ とおくと$

$x^2=4a=2^2a \ \ だから \ a\ が平方数のときである。$

$a=m^2\ \ (m > 0)\ \ とおくと \quad x=2m$

$y=n^2 \ \ のとき \quad x^2=4n^2 \ \ だから \quad x=2n$

$したがって \quad y=\dfrac{x^2}{4}\ \ (x > 0)\ \ 上の格子点は \ x\ が偶数のときである。$

　

$まず、0 \leqq y < \dfrac{x^2}{4} \ \ の格子点の個数を求める。$

$x=k \ \ (k > 0)\ \ のときの \quad y< \dfrac{x^2}{4} \ \ の部分の格子点は$

(i)$\ \ k \ が奇数のとき$

$\quad k=2m-1\ \ (m\ は正の整数)\ \ とおくと$

$\quad \dfrac{k^2}{4}=\dfrac{(2m-1)^2}{4}=m^2-m+\dfrac{1}{4}$

$\quad 最大の整数は \ \ m^2-m \ \ だから \quad 0 \ \ ～ \ (m^2-m) \ \ の \ \ m^2-m+1 \ \ 個$

(ii)$\ \ k が偶数のとき$

$\quad k=2m \ \ (m\ は正の整数)\ \ とおくと$

$\quad \dfrac{k^2}{4}=\dfrac{(2m)^2}{4}=m^2 \quad だから$

$\quad y=\dfrac{x^2}{4}\ \ 上の格子点を除いて \quad 0 \ \ ～ \ (m^2-1) \ \ の \ \ m^2 \ \ 個$

$よって \quad 0 \leqq y < \dfrac{x^2}{4}\ \ の格子点の個数は$

\begin{eqnarray*} & &\sum_{m=1}^n (m^2-m+1) + \sum_{m=1}^n m^2\\ \\ & &\sum_{m=1}^n (2m^2-m+1) \\ \\ &=&\dfrac{2n}{6}(n+1)(2n+1)-\dfrac{n}{2}(n+1)+n\\ \\ &=&\dfrac{n}{6}\{2(n+1)(2n+1)-3(n+1)+6\}\\ \\ &=&\dfrac{n}{6}(4n^2+3n+5)\\ \end{eqnarray*}
$よって \quad \dfrac{x^2}{4}\leqq y \leqq n^2 \ \ の格子点の個数 \ N\ は$

\begin{eqnarray*} N &=&(2n+1)(n^2+1)-\dfrac{n}{6}(4n^2+3n+5)\\ \\ &=&(2n^3+n^2+2n+1)-\dfrac{1}{6}(4n^3+3n^2+5n)\\ \\ &=&\dfrac{1}{6}(8n^3+3n^2+7n+6) \end{eqnarray*}

ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る