岡山大学（理系）2019年前期 問題3
$ 次の3つの等式$
$\qquad z\overline{w}=\overline{z}w,\ \ |z-1|=1,\ \ |z-w|=2$
$を満たす複素数 z、wについて、以下の問いに答えよ。ただしz \ne 0 とし、zの偏角を\theta と表す。$
$(1) \quad 複素数平面において3点O,z,wは一直線上にあることを示せ。$
$(2) \quad zとwを\theta を用いて表せ。$
$(3) \quad \theta は0 \leqq \theta < \dfrac{\pi}{2} の範囲を動くとする。このときwのとりうる値について、その虚部の最大の値を求めよ。$
$(2)のwを求めることが主問題です。この曲線をカージオイドといいます。$
$(3)は微分法の単なる計算問題でおまけです。$
(1)
$\overline{z\overline{w}}=\overline{z}w \ \ だから \ \ z\overline{w}=\overline{z\overline{w}} \ \ となって \ \ z\overline{w} \ は実数である。$
$よって、偏角を\arg \ と表すと$
$\qquad \arg z\overline{w} =0 \qquad (実数の偏角は0)$
$\qquad \arg z+\overline{w} =0 \qquad (積の偏角は和になる)$
$\qquad \arg z - \arg w=0 \qquad (共役複素数は実軸について対称)$
$\qquad \arg z = \arg w$
$すなわち 3点O,z,wは一直線上にある。$
$(補足)$
(i)$\ \ \arg \alpha \beta =\arg \alpha + \arg \beta $
$(証明)$
$\alpha =r_1(\cos \theta _1+i\sin \theta _1),\quad \beta =r_2(\cos \theta _2+i\sin \theta _2) \ \ とおくと$
\begin{eqnarray*} \alpha \beta &=&r_1r_2(\cos \theta _1+i\sin \theta _1)(\cos \theta _2+i\sin \theta _2)\\ &=&r_1r_2\{(\cos \theta _1\cos \theta _2 - \sin \theta _1 \sin \theta _2 +i(\cos \theta _1\sin \theta _2+\sin \theta _1\cos \theta _2)\}\\ &=&r_1r_2\{(\cos (\theta _1+\theta _2)+i \sin (\theta _1 +\theta _2)\}\\ \end{eqnarray*} $\quad \therefore \arg \alpha \beta =\theta _1+\theta _2 =\arg \alpha + \arg \beta $
(ii)$\ \ \arg \overline{\alpha} =-\arg \alpha $
$(証明)$
\begin{eqnarray*} \overline{\alpha} &=&r_1(\cos \theta _1-i\sin \theta _1)\\ &=&r_1\{\cos (-\theta _1)+i\sin (-\theta _1)\}\\ \end{eqnarray*} $よって、\overline{\alpha}の偏角は -\theta _1 $
(2)
$|z-1|=1 \ \ より 点P(z)は中心C(1),半径1の円周上の点である。$
$A(2)とすると、円周角の定理より \angle OPA=\cfrac{\pi}{2}$
$OP=OA\cos \theta =2\cos \theta$
$\therefore |z|=2\cos \theta \quad ただし -\cfrac{\pi}{2} < \theta < \cfrac{\pi}{2}$
$zの偏角は\theta \ \ だから、z=2\cos \theta (\cos \theta +i\sin \theta)$
$OPの最大値は2$
$|z-w|=2 \ \ より PQ=2$
$3点O,z,wは一直線上にあることから、$
$点Q(w)は線分OPの延長上にある。$
$したがって OQ=OP+PQ=r+2$
\begin{eqnarray*}
w
&=&(r+2)(\cos \theta +i\sin \theta)\\
&=&(2\cos \theta +2)(\cos \theta +i\sin \theta)\\
&=&2(1+\cos \theta )(\cos \theta +i\sin \theta)\\
\end{eqnarray*}
(3)
$wの虚部をyとすると$
$\qquad y=2(1+\cos \theta )\sin \theta $
\begin{eqnarray*} y' &=&2(-\sin \theta)\sin \theta +2(1+\cos \theta )\cos \theta\\ &=&2(\cos ^2 \theta-\sin ^2 \theta) +2\cos \theta\\ &=&2(2\cos ^2 \theta-1) +2\cos \theta\\ &=&2(2\cos \theta-1)(\cos \theta +1)\\ \end{eqnarray*} $\quad y'=0 \ \ より \cos \theta =\cfrac{1}{2} \quad 0 \leqq \theta < \dfrac{\pi}{2} \ \ より \ \ \theta =\cfrac{\pi}{3}$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} \hline x& 0&\cdots&\dfrac{\pi}{3}&\cdots&\dfrac{\pi}{2}\\ \hline y'& &+&0&-& \\ \hline y& &\nearrow&極大&\searrow& \\ \hline \end{array} \]
$\theta =\cfrac{\pi}{3}\ でyは最大となり、最大値は$
$\quad y=2(1+\cos \cfrac{\pi}{3})\sin \cfrac{\pi}{3}=2(1+\cfrac{1}{2}) \times \cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{3\sqrt{3}}{2}$
$このとき$
$\quad x=2(1+\cos \cfrac{\pi}{3})\cos \cfrac{\pi}{3}=2(1+\cfrac{1}{2}) \times \cfrac{1}{2}=\cfrac{3}{2}$
$\quad \therefore w=\cfrac{3\sqrt{3}}{2}+\cfrac{3}{2}i$
$(補足)$
$極方程式 r=f(\theta) で表され\ \ た曲線を、直交座標表示に直すと$
$\qquad x=r\cos \theta=f(\theta)\cos \theta$
$\qquad y=r\sin \theta=f(\theta)\sin \theta$
$のような媒介変数表示となります。$
$設問の 複素数表示 w=2(1+\cos \theta )(\cos \theta +i\sin \theta) の極方程式表示$
$\qquad r=2(1+\cos \theta) $
$は \ \ $カージオイド(心臓形)$ \ \ とよばれる図形です。$
$ですから、この設問はカージオイドを定義から求める問題だったのです。$
$※\ \ カージオイドの定義は($カージオイド(心臓形)$)を参照してください。$
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