お茶の水女子大学(理系A) 2022年　問題3


$関数 \ y=e^x,\ y=\log x \ のグラフをそれぞれ \ C_1,\ C_2 \ とする。$
$(1)\ \ 曲線 \ C_1\ と直線 \ y=x\ は共有点をもたないことを示せ。$
$(2)\ \ 2\ つの曲線 \ C_1,\ C_2\ の両方に接する最も半径の小さな円の方程式を求めよ。$
$\quad ただし、曲線と円が接するとは、共有する1点をもちその点における接線が一致していることである。$
$(3)\ 次の連立不等式の表す領域と(2)で求めた円の外部との共通部分の面積を求めよ。$
\[\qquad \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 0 \leqq y \leqq e^x\\ y \geqq \log x \\ 0 \leqq x \leqq 2\\ \end{array} \right. \]


$(解説)$

$(1)\ \ y=e^x \ がつねに \ y=x\ より上にあることを示します。$
$(2)\ \ 微分法で半径 \ r\ の最小値を求める方法と、最小となる条件を図形的に求める方法があります。$
$(3)\ \ 円の部分の面積を後から引く方法が簡単です。$


(1)

　
(i)$\ \ x \leqq 0 \quad のとき $

$\quad e^x > 0 \quad だから \quad e^x > x $

(ii)$\ \ x > 0 \quad のとき$

$\quad f(x)=e^x-x \quad とおくと \quad f'(x)=e^x -1>0$

$\quad f(x)\ は単調増加だから \quad f(x)>f(0)=1>0 \qquad e^x >x$

(i),(ii)$より \quad e^x > x \quad だから曲線 \ C_1:y=e^x \ と直線 \ y=x\ は共有点をもたない。$


(2)


$C_1\ と \ C_2\ は互いに逆関数だから、直線 \ y=x\ に関して線対称(折り返したもの)である。$

$y=e^x \ \ 上の接点を \ A(a,\ e^a)\ とおくと、y=\log x \ 上の接点は \ B(e^a,\ a)\ とおける。$

$また、円は \ C1,\ C_2\ と接するから点 \ A,\ B\ は円の接点でもある。$

$円の半径 \ r\ は接点 \ A(a,\ e^a)\ と直線 \ x-y=0 \ との距離に等しいから、円の中心を \ C\ とおくと$

$\quad r=AC=\cfrac{|a-e^a|}{\sqrt{2}}=\cfrac{e^a-a}{\sqrt{2}} \qquad (\ \ \because \ \ (1) より \ \ e^x > x \ )$

$f(a)=e^a-a \quad とおくと \quad f'(a)=e^a-1 \qquad f'(a)=0 \quad より \quad a=0$

　
$増減表は$
\[\qquad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} a & \cdots & 0 & \cdots \\ \hline f'(a) & - & 0 & + \\ \hline f(t) & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \] $a=0\ で極小かつ最小となり、最小値は \ \ f(0)=1$

$このとき円の半径は \quad r=\cfrac{1}{\sqrt{2}}, \quad 2つの接点は \ A(0,\ 1),\ B(1,\ 0)$

$円の中心 \ C\ は線分 \ AB\ の中点だから \quad C(\cfrac{1}{2},\ \cfrac{1}{2})$

$したがって 求める円の方程式は \quad (x- \cfrac{1}{2})^2+(y-\cfrac{1}{2})^2=\cfrac{1}{2}$


$(別解)$

　
$右図は、\ C_1,\ C_2\ の両方に接する円を表したものである。$

$この図で、とくに円の半径 \ r=AC=BC\ が最小となるのは、$

$r=\cfrac{AC+BC}{2} \quad だから、AC+BC \ \ が最小となる場合である。$

$それは、3点 \ A,\ C,\ B\ が一直線上にあるときである。$

$円の接線は、円の中心 \ C\ と接点を結ぶ直線に垂直であるから、$

$\qquad (このことについては($円の接線$)を参考にしてください。)$

$\quad AC \perp l_1,\quad BC \perp l_2 \quad よって \quad AB \perp l_1,\quad AB \perp l_2 $

　
$また、線分 \ AB\ の垂直二等分線が \ y=x \ だから \ AB\ と \ y=x \ は直交する。$

$よって、l_1,\ l_2 \ は \ y=x \ に平行であるから その傾きは \ 1\ である。$

$したがって、点 \ A(a,\ e^a)\ における \ y=e^x \ の接線の傾きは \quad y'=e^x \quad より$

$\quad e^a=1 \qquad \therefore \ \ a=0$

$よって \quad A(0,\ 1),\ B(0,\ 1)$


(3)

　
$共通部分の領域は、右図のとおり$
\begin{eqnarray*} \quad S_1 &=&\int _0^1(e^x-(1-x))dx\\ &=&\big[e^x-x+\cfrac{x^2}{2}\big]_0^1\\ &=&e -1+\cfrac{1}{2}-1\\ &=&e-\cfrac{3}{2} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \quad S_2 &=&\int _1^2(e^x- \log x)dx\\ \\ &=&\big[e^x -(x\log x-x)\big]_1^2\\ \\ &=&e^2 -2\log 2 +2 -(e+1)\\ \\ &=&e^2-e-2\log 2+1 \end{eqnarray*}
$求める領域の面積 \ T\ は$
\begin{eqnarray*} \quad T &=&S_1+S_2-(半円の面積)\\ \\ &=&(e-\cfrac{3}{2})+(e^2-e-2\log 2+1)-\cfrac{1}{2} \times \pi \times \cfrac{1}{2}\\ \\ &=&e^2-2\log 2 -\cfrac{1}{2}-\cfrac{\pi}{4} \end{eqnarray*}


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