円の接線


1 はじめに

$\hspace{1em} 円Oの接線をl,接点をAとすると  OA \perp l$

 これはなにかとよく使われる定理ですが、
その証明はとなると、中学校はもちろん
高校の教科書や参考書にも載っていません。
「図をみればわかるでしょ」的なノリでは
済まされない基本的で重要な内容を含んで
いるのです。
 そこで、この定理を掘り下げてみたいと
思います。


2 円と直線の位置関係

 円と直線の位置関係は、下図のように3通りあります。

 特に、1点で交わるとき、直線は円に接するといい、この直線を接線、交わる1点を接点といいます。


3 点と直線の距離

$直線lと、l上にない点Pがある。Pと\ l\ 上の点を結ぶ線分の長さが最小となる点は、$
$Pから \ l\ に垂線を引き、lとの交点Qが求める点である。$

(証明)
$右図のように、Pの \ l\ について対称な点をP'とし、$
$l上Qと異なる任意の点Aをとると$
$PP' \perp l, \quad PQ=P'Q$ より
$\hspace{1em} △PAQ \equiv △P'AQ$
$よって  PA=P'A$
また
△PAP'において、2辺の長さの和は他の1辺の長さ
より大きいから
$\hspace{2em} PA+AP'>PP'$
$(証明は$三角形の辺と角の定理$を参考にしてください)$
したがって
$\hspace{2em} 2PA>2PQ , \quad PA>PQ$
$となって PQの長さはどのような線分PAの長さよりも小さいことがいえる。$

$この線分PQの長さを点Pと直線lの距離といいます。$


4 これで、準備が整いましたので、はじめの定理が証明できるようになりました。

定理 $直線 \ l\ は点Aで円Oに接する  \Longleftrightarrow \quad OA \perp l$


$\Longrightarrow の証明$

背理法で証明する。
$OA \perp l でないとすると、Oからlに垂線が1本$
引けるから、その足を$H$とする。
$l上にAH=BHとなるAと異なる点Bをとると$
2辺とその間の角が等しいので
$ \hspace{2em} △OHA \equiv △OHB$
よって  $OA=OB$
点Aは円周上の点だから、点Bも円周上の点である。
すると
$lは円Oと異なる2点で交わることになり、lが接線であることに矛盾する。$
したがって $OA \perp l$


$\Longleftarrow の証明$

$直線l上にA以外の点Bをとると$
点と直線の最短距離は垂線であったから
$\hspace{2em} OA < OB $
$よって、点Bは円Oの外部の点となる。$
$l \ は点A以外に円Oと共有点をもたないので$
$定義から \ l\ は円Oの接線である。$


5 再び円と直線の位置関係

$円と直線の位置関係は、円の中心Oから直線lまでの距離dと、円の半径rを用いて表すと、$
$下図のようになります。$



6 円の接線の方程式

$応用問題になりますが、4と5を使うと円周上の接点の座標が与えられた場合の接線lの方程式を$
求めることができます。

$座標平面で、円の中心をC(x_0,y_0),半径を$
$ \ r \ ,円周上の点を A(x_1,y_1) とすると$
$r=CA=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$
$ACの傾き=\cfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$
$l \perp AC$ だから
$lの傾き=-\cfrac{x_1-x_0}{y_1-y_0}$
よって $ l $ の方程式は
$y=-\cfrac{x_1-x_0}{y_1-y_0}(x-x_1)+y_1$
$y_1を移項して、分母を払うと$
$(x_1-x_0)(x-x_1)+(y_1-y_0)(y-y_1)=0$
$(x_1-x_0)(x-x_0-(x_1-x_0))+(y_1-y_0)(y-y_0-(y_1-y_0))=0$
$(x_1-x_0)(x-x_0)+(y_1-y_0)(y-y_0)=(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2$
右辺は線分$\quad CA^2=r^2$ だから

$\hspace{2em} (x_1-x_0)(x-x_0)+(y_1-y_0)(y-y_0)=r^2$

これが求める接線の方程式です。


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