お茶の水女子大学(理学共通) 2023年 問題2
$三角形 \ ABC\ の \ 3\ つの角 \ \angle A,\ \angle B,\ \angle C\ の大きさをそれぞれ \ A,\ B,\ C\ とおく。$
$(1)\ \ \sin \cfrac{A}{2}\sin \cfrac{B}{2}=\cfrac{1}{2}\cos \cfrac{A-B}{2}-\cfrac{1}{2}\sin \cfrac{C}{2}\ \ を示せ。$
$(2)\ \ \cos A +\cos B +\cos C=k \ \ としたとき、 \sin \cfrac{A}{2}\sin \cfrac{B}{2} \sin \cfrac{C}{2}\ \ を \ k\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ 三角形 \ ABC\ が \ A < B < C=\cfrac{\pi}{2} \ \ の直角三角形であり、\sin \cfrac{A}{2}\sin \cfrac{B}{2} \sin \cfrac{C}{2}=\cfrac{1}{10}\ \ のとき、$
$\quad 3\ 辺の長さの比 \ \ BC:CA:AB\ を求めよ。$
(1)
$A+B+C=\pi \quad をつかって$
\begin{eqnarray*} & &\sin \cfrac{A}{2}\sin \cfrac{B}{2}\\ \\ &=&-\cfrac{1}{2}\big\{\cos (\cfrac{A}{2}+\cfrac{B}{2})- \cos (\cfrac{A}{2}-\cfrac{B}{2})\big\}\\ \\ &=&-\cfrac{1}{2}\big(\cos \cfrac{\pi - C}{2}- \cos \cfrac{A-B}{2}\big)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\cos \cfrac{A-B}{2} -\cfrac{1}{2}\cos \big(\cfrac{\pi}{2}- \cfrac{C}{2}\big)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\cos \cfrac{A-B}{2} -\cfrac{1}{2}\sin \cfrac{C}{2} \end{eqnarray*}
(2)
$(1)より$
\begin{eqnarray*} & &\sin \cfrac{A}{2}\sin \cfrac{B}{2} \sin \cfrac{C}{2}\\ \\ &=&\big(\cfrac{1}{2}\cos \cfrac{A-B}{2} -\cfrac{1}{2}\sin \cfrac{C}{2}\big)\sin \cfrac{C}{2}\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\cos \cfrac{A-B}{2} \sin \cfrac{C}{2} - \cfrac{1}{2}\sin ^2\cfrac{C}{2}\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}\big(\sin \cfrac{A-B+C}{2} -\sin \cfrac{A-B-C}{2}\big) - \cfrac{1}{4}(1-\cos C)\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}\big(\sin \cfrac{\pi -2B}{2} -\sin \cfrac{2A- \pi }{2}\big) - \cfrac{1}{4}(1-\cos C)\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}\big(\sin (\cfrac{\pi}{2} -B\big) + \sin (\cfrac{\pi}{2} -A)\big) + \cfrac{1}{4}(\cos C -1)\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}(\cos A + \cos B +\cos C ) -\cfrac{1}{4}\\ \\ &=&\cfrac{k}{4}-\cfrac{1}{4} \end{eqnarray*}
(3)
$\sin \cfrac{A}{2}\sin \cfrac{B}{2} \sin \cfrac{C}{2}=\cfrac{1}{10} \quad だから(2)より$
$\cfrac{k}{4}-\cfrac{1}{4}=\cfrac{1}{10} \qquad \therefore \ \ k=\cfrac{7}{5}$
$よって \cos A + \cos B +\cos C =\cfrac{7}{5}$
$C=\cfrac{\pi}{2} \quad だから \quad \cos C=0$
$\therefore \ \ \cos A + \cos B =\cfrac{7}{5}$
$BC=a,\ \ CA=b,\ \ AB=c\ \ とし、余弦定理を用いると$
$\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} + \cfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=\cfrac{7}{5}$
$また、C=\cfrac{\pi}{2} \quad だから \quad a^2+b^2=c^2 \hspace{5em}①$
$これをつかって$
$\cfrac{b^2+c^2-(c^2-b^2)}{2bc} + \cfrac{c^2+a^2-(c^2-a^2)}{2ca}=\cfrac{7}{5}$
$\cfrac{b}{c} + \cfrac{a}{c}=\cfrac{7}{5} \qquad \therefore \ \ a+b=\cfrac{7}{5}c \hspace{5em}②$
$②を①に代入して$
$a^2+b^2=\cfrac{25}{49}(a+b)^2$
$24a^2+24b^2=50ab$
$12a^2 - 25ab +12b^2=0$
$(3a-4b)(4a-3b)=0$
$A < B \ \ より \ \ a < b \ \ だから \quad 3a-4b <0 $
$\qquad (このことについては($三角形の辺と角をめぐる基本定理$)を参考にしてください。)$
$\therefore 4a-3b=0 \qquad b=\cfrac{4}{3}a \hspace{5em}③$
$②に代入して \quad a+\cfrac{4}{3}a =\cfrac{7}{5}c \qquad a=\cfrac{3}{5}c$
$③に代入して \quad b=\cfrac{4}{3} \times \cfrac{3}{5}c=\cfrac{4}{5}c$
$a:b:c=\cfrac{3}{5}c : \cfrac{4}{5}c :c=3:4:5$
$よって \quad BC:CA:AB=3:4:5$
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