お茶の水女子大学(理学共通) 2023年　問題1


$3\ 進法で表すと \ 5\ 桁となるような自然数全体の集合を \ X\ とする。また、X\ に含まれる自然数 \ x\ に対して、$
$x\ を \ 3\ 進法で \ abcde_{(3)}\ と表すときの各桁の総和 \ a+b+c+d+e \ を \ S(x)\ とおく。$
$例えば、10\ 進法 \ 86\ は \ 3\ 進法で \ 10012_{(3)}\ と表されるため、S(86)=1+0+0+1+2=4\ である。$
$(1)\ \ 10\ 進法 \ 199\ を \ 3\ 進法で表し、S(199)\ を求めよ。$
$(2)\ \ X\ の要素の個数を求めよ。$
$(3)\ \ X\ から \ 1\ つの要素を選び、さらに、各面に \ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\ の数字の \ 1\ つずつが重複なく書かれた$
$\quad 1\ 個のさいころを \ 1\ 回投げる。ただし、X\ のどの要素が選ばれる確率も同じであるとする。$
$\quad 選ばれた \ X\ の要素を \ x\ ,出たさいころの数字を \ r\ とおいたとき、次の確率を求めよ。$
(i)$\ \ x \geqq 162 \ \ かつ \ 等式 \ S(x)=r \ が成り立つ確率。$
(ii)$\ \ x\ が \ 9\ の倍数であって \ r\ が奇数であったときに、等式 \ S(x)=r\ が成り立つ確率。$


(1)

　

$右の計算のように \ 3\ で割った商と余りを求め、その商をさらに \ 3\ で割って$

$商と余りを求めることを繰り返す。$

$商が \ 3\ より小さくなったら計算は終了する。$

$この計算は次のような割り算を行ったことです。$

$\quad 199=3 \times 66 +1$

$\quad \ 66=3 \times 22 +0$

$\quad \ 22=3 \times \ 7 +1$

$\quad \ \ 7=3 \times \ 2 +1$

$得られた商を逆順で上の式に代入すると$

$\quad \ 22=3 \times (3 \times \ 2 +1) +1=3^2 \times 2+ 3 +1 $

$\quad \ 66=3 \times (3^2 \times 2+ 3 +1 ) + 0 =3^3 \times 2 + 3^2 + 3 $

$\quad 199=3 \times (3^3 \times 2 + 3^2 + 3) +1=3^4 \times 2 +3^3+ 3^2+1 $

$したがって \qquad 199=21101_{(3)},\qquad S(199)=2+1+1+0+1=5$


(2)


$3\ 進法で表すと \ 5\ 桁となるような数は \quad 10000_{(3)} ～ \ 22222_{(3)}\ \ である。$

$\quad 10000_{(3)}=3^4=81$

$\quad 22222_{(3)}=2 \times 3^4+ 2 \times 3^3+2 \times 3^2+2 \times 3 + 2=242$

$よって \quad X=\{81,\ 82,\ \cdots , \ 242\} \quad だから要素の個数は \quad n(X)=242-81+1=162\ (個)$


(3)


(i)$\ \ 162=2 \times 3^4 \quad だから \quad 162=20000_{(3)}$

$\quad x \geqq 162 \ \ は \ 3\ 進法で表すと \quad 20000_{(3)}\ \ より大きい数$

$\quad S(x) \geqq 2+0+0+0+0=2 \quad だから \quad x \geqq 162 \ \ かつ \ \ S(x)=r \ が成り立つ \ x\ は$

$\quad (ア)\ \ S(x)=2 \ \ のとき \quad 20000\ \ の \ 1\ 個$

$\quad (イ)\ \ S(x)=3 \ \ のとき \quad 1\ 桁から \ 4\ 桁のどれかが \ 1\ で、他はすべて \ 0 \qquad {}_{4}C_1=4\ 個$

$\hspace{5em} 具体的には \quad 21000,\ \ 20100,\ \ 20010,\ \ 20001$

$\quad (ウ)\ \ S(x)=4 \ \ のとき$

$\qquad 1\ 桁から \ 4\ 桁のどれか \ 2\ つが \ 1\ で、他の \ 2\ つは \ 0 \qquad {}_{4}C_2=\cfrac{4 \times 3}{2}=6\ 個$

$\hspace{5em} 具体的には \quad 21100,\ \ 21010,\ \ 21001,\ \ 20110,\ \ 20101,\ \ 20011$

$\qquad 1\ 桁から \ 4\ 桁のどれか \ 1\ つが \ 2\ で、他の \ 3\ つはすべて \ 0 \qquad {}_{4}C_1=4\ 個$

$\hspace{5em} 具体的には \quad 22000,\ \ 20200,\ \ 20020,\ \ 20002 $

$\quad (エ)\ \ S(x)=5 \ \ のとき$

$\qquad 1\ 桁から \ 4\ 桁のどれか \ 3\ つが \ 1\ で、残り \ 1\ つは \ 0 \qquad {}_{4}C_1=4\ 個$

$\hspace{5em} 具体的には \quad 21110,\ \ 21101,\ \ 21011,\ \ 20111 $

$\qquad 1\ 桁から \ 4\ 桁のどれか \ 1\ つが \ 2\ で、他の \ 1\ つは \ 1,\ 残り \ 2\ つは \ 0 \qquad {}_{4}C_1　\times {}_{3}C_1=12\ 個$

$\quad (オ)\ \ S(x)=6 \ \ のとき$

$\qquad 1\ 桁から \ 4\ 桁のすべてが \ 1 \qquad 1個$

$\qquad 1\ 桁から \ 4\ 桁のどれか \ 1\ つが \ 2\ で、他の \ 2\ つは \ 1,残り \ 1\ つは \ 0 \qquad {}_{4}C_1 \times {}_{3}C_2=12\ 個$

$\qquad 1\ 桁から \ 4\ 桁のどれか \ 2\ つが \ 2\ で、残り \ 2\ つは \ 0 \qquad {}_{4}C_2=6\ 個$

$\hspace{5em} 具体的には \quad 22200,\ \ 22020,\ \ 22002,\ \ 20220,\ \ 20202,\ \ 20022 $

$\quad (ア)～(オ)の合計 \quad 1+4+(6+4)+(4+12)+(1+12+6)=50 \ 個$

$\quad 求める確率は \quad P=\cfrac{50}{162 \times 6}=\cfrac{25}{486}$


(ii)$\ \ x\ が \ 9\ の倍数ならば \ \ x=9k\ \ (k\ は整数)=k \times 3^2 \quad だから \quad x\ を \ 3\ 進法で表すと、下 \ 2\ 桁は\ 0\ 0\ である。$

$\quad このような数は \ 5\ 桁目は \ 1,\ 2\ の \ 2\ 通り、4\ 桁目と \ 3\ 桁目は \ 1,\ 2,\ 3\ の \ 3\ 通りだから、全部で \quad 2 \times 3 \times 3=18\ 個 $

$\quad x\ が \ 9\ の倍数であって \ r\ が奇数であるような順序対 \ (x,\ r)\ は \ x\ が \ 18\ 個、r\ は奇数の \ 3\ 個だから、$

$\quad 全部で \quad 18 \times 3=54\ 個 \quad この \ 54\ 個の根元事象は、どの順序対が選ばれるの同様に確からしい。$

$\quad このうち、S(x)=r\ \ が成り立つ \ x\ は$

$\quad (ア)\ \ S(x)=1 \ \ のとき \quad 10000 \ \ の \ 1\ 個$

$\quad (イ)\ \ S(x)=3 \ \ のとき$

$\qquad 3\ 桁から \ 5\ 桁のすべてが \ 1 \qquad 11100 \ の \ 1\ 個$

$\qquad 5\ 桁が \ 1\ か \ 2 \quad 2 \times 2=4\ 個 \qquad 具体的には \quad 10200,\ \ 12000,\ \ 20100,\ \ 21000 $

$\quad (ウ)\ \ S(x)=5 \ \ のとき$

$\qquad 3\ 桁から \ 5\ 桁のどれか \ 2\ つが \ 2\ で残り \ 1\ つが \ 1 \qquad {}_{3}C_2=3\ 個 \qquad 具体的には \quad 12200,\ \ 21200,\ \ 22100 $
　
$\quad (ア)～(ウ)の合計 \quad 1+(1+4)+3=9 \ 個$

$よって、求める条件付き確率は \quad P=\cfrac{9}{54}=\cfrac{1}{6}$


$このことについてもう少し説明します。$

$全事象 \ \ U=\{(x,r)|x \in X,r \in R\}\ \ とする。根元事象 \ (x,\ r)\ は同様に確からしいと考えてよい。$

$とくに、A=\{(x,r)|x\ は \ 9\ の倍数、\ r\ は奇数\}\ 、\ \ B=\{(x,\ r)|S(x)=r\} \ \ とすると$

$U\ は右のように \ 4\ つに区分される。$

　

$x\ が \ 9\ の倍数であって \ r\ が奇数であるのは、事象Aが起こったことで、$

$その根元事象の個数は \quad n(A)=54$

$このとき、事象\ B\ が起こるのは \ \ A \cap B \ \ だからその根元事象の個数は$

$\qquad n(A \cap B)=9$

$よって、その条件つき確率は \quad P_A(B)=\cfrac{n(A \cap B)}{n(A)}=\cfrac{9}{54}=\cfrac{1}{6}$

$なお、事象 \ B\ の要素の個数については$

$\quad S(x)=1 \ \ のとき \ \ 1\ 個、\quad S(x)=2\ \ のとき \ \ 5\ 個,\quad S(x)=3 \ \ のとき\ \ 14\ 個$

$\quad S(x)=4 \ \ のとき \ \ 26\ 個 , \quad S(x)=5 \ \ のとき \ \ 35\ 個, \quad S(x)=6 \ \ のとき \ \ 35\ 個 \qquad 合計 \quad n(B)=116$

$n(U)=162 \times 6=972\ \ であるから右のような分割表が得られます。$

$\qquad (もう少し詳しいことは($条件付き確率$)を参考にしてください。)$


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