正規部分群
1 剰余類
$定理1$
$\quad 群Gの部分群をHとし、a,\ \ b \in G \ \ とする。$
$\hspace{4em} a \sim b \quad \longleftrightarrow \quad ba^{-1} \in H$
$\quad で定義される関係\sim は同値関係である。$
$(証明)$
(i)$\ \ 反射律$
$\qquad aa^{-1}=e \in H だから\ \ a \sim a$
(ii)$\ \ 対称律$
$\qquad a \sim b \quad ならば ba^{-1} \in H \qquad Hは群だから \quad (ba^{-1})^{-1} \in H$
$\qquad \therefore ab^{-1}=(ba^{-1})^{-1} \in H \quad より \quad b \sim a$
(iii)$\ \ 推移律$
$\qquad a \sim b, \quad b \sim c \quad ならば ba^{-1} \in H ,\quad cb^{-1} \in H$
$\qquad \therefore ca^{-1}=(cb^{-1})(ba^{-1}) \in H \quad より \quad a \sim c$
$\quad a,b \in G \ \ に対して h=ba^{-1} とすると 定理1より \quad h \in H$
$\quad b=ha \quad だから \{ha|h \in H\}\ \ をaによる右剰余類といい、Ha\ で表します。$
$同様にして、\{ah|h \in H\} \ \ を左剰余類といい、aH\ で表します。$
$定理2$
$\quad 群Gの2つの右剰余類 \ Ha \ と \ Hb \ において$
$\hspace{4em} c \in Ha \quad かつ \quad c \in Hb \ \ ならば \quad Ha=Hb$
$\ c \in Ha \quad かつ \quad c \in Hb \ \ より\ \ c=h_1a=h_2b \ \ (h_1,h_2 \in H)とおける。$
$Hは部分群だから\ h_1^{-1} \ が存在して \quad a=h_1^{-1}c$
$\quad \forall p \in Ha \ \ に対して、\exists h \in H$
$\quad p=ha=h(h_1^{-1}c)=(hh_1^{-1})c=(hh_1^{-1})h_2b=(hh_1^{-1}h_2)b$
$\quad hh_1^{-1}h_2 \in H \ \ だから p \in Hb \ \ となり Ha \subset Hb$
$同様にして Hb \subset Ha \ \ がいえるので Ha=Hb$
$定理3$
$\quad 群Gの元aに対して、写像 f_a:H \longrightarrow Ha \ \ を \ \ y=xa \ \ で定めると、f_a は全単射(1対1対応)である。$
$Ha\ の任意の元 \ yを1つ定めると、y=xa \ \ より \ \ x=ya^{-1} となるHの元 \ xが必ず1つ決まるから、f_a は全射である。$
$y_1=y_2 \ \ とすると x_1a=x_2a \quad 右からa^{-1}をかけて \quad x_1=x_2 \ \ となるから、f_a は単射である。$
$このことより、Hの位数とHaの位数は一致することがわかります。$
$Gの右剰余類の異なるものを \ H,\ Ha,\ Hb,\cdots ,\ Hk\ \ とすると$
$\qquad G=H \cup Ha \cup Hb \cup \cdots \cup Hk$
$とあらわされるが、この分解を$
$\qquad G=H+Ha+Hb+\cdots +Hk$
$とかきます。$
$したがって、群 \ G,\ Hの位数をそれぞれ \ g,\ rとすると\ g=rk\ だから、rはgの約数となります。$
$定理4\ \ (ラグランジュの定理)$
$\quad 有限群Gの位数をgとすると,部分群Hの位数はgの約数である。$
2 正規部分群
$群Gの部分群Hによる右剰余類と左剰余類がすべて一致するとき、すなわち$
$\qquad \forall a \in G に対して Ha=aH$
$が成りたつとき、HをGの「正規部分群」といいます。$
$例1 \ \ 11を法として、剰余系 \ \ G=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\ \ を考える。$
$\qquad 2^1=2,\ \ 2^2=4,\ \ 2^3=8,\ \ 2^4=5,\ \ 2^5=10,\ \ 2^6=9,\ \ 2^7=7,\ \ 2^8=3,\ \ 2^9=6,\ \ 2^{10}=1$
$したがって、Gは \ 2\ を生成元とする巡回群となります。$
$巡回群は可換群だから、右剰余類と左剰余類は一致します。$
$Gの正規部分群には、A=\{1,2^2,2^4,2^6,2^8\}=\{1,3,4,5,9\}\ \ と \ \ B=\{1,2^5\}=\{1,10\}\ \ があります。$
(i)$\ \ 正規部分群 \ \ A=\{1,3,4,5,9\}\ \ による類別$
$\quad Gの元で、Aの元でない \ 2\ を用いて A\cdot 2=\{2,6,7,8,10\}\ \ だから$
$\qquad G=A \cup A\cdot 2 \ \ となり、G=A+A\cdot 2 \quad と類別できる。$
(ii)$\ \ 正規部分群 \ \ B=\{1,2^5\}=\{1,10\}\ \ による類別$
$\quad Gの元で$
$\qquad Bの元でない \ 2\ を用いて B\cdot 2=\{2,9\}$
$\qquad Bの元でもB\cdot 2 の元でもない \ 2^2=4\ を用いて B\cdot 4=\{4,7\}$
$\qquad Bの元でもB\cdot 2 の元でもB\cdot 4 の元でもない \ 2^3=8\ を用いて B\cdot 8=\{8,3\}$
$\qquad Bの元でもB\cdot 2 の元でもB\cdot 4 の元でもB\cdot 8 の元でもない \ 2^4=5\ を用いて B\cdot 5=\{5,6\}$
$\hspace{3em}G=B \cup B\cdot 2 \cup B\cdot 4 \cup B\cdot 8 \cup B\cdot 5 \ \ だから \ \ G=B+B\cdot 2+ B\cdot 4+B\cdot 5+B\cdot 8 \quad と類別できる。$
3 剰余群
$群Gの正規部分群Hによるすべての剰余類の集合をG/Hと表すと$
$\qquad G/H=\{Ha\ |\ a \in G\}$
$この\ G/H\ に演算を定義し、群となることを示します。$
$(1)\ \ 乗法の定義$
$\quad h_1a \in Ha,\ \ h_2b \in Hb \ \ (h_1,h_2 \in H) \ \ とする。$
$\quad (h_1a)(h_2b)=h_1(ah_2)b \ \ だから \ \ (Ha)(Hb)=H(aH)b$
$\quad Hは正規部分群だから Ha=aH \quad よって、(Ha)(Hb)=H(Ha)b=(HH)(ab)$
$\quad ところで、Hは群だから h_1h_2 \in H \quad \therefore HH \subset H$
$\quad また、e \in H, \ \ h \in H \ \ とすると \ \ h=eh \ \ だから \ \ H \subset HH$
$\quad よって、HH=H \ \ となり、（Ha)(Hb)=H(ab)$
$\quad これを \ G/H \ の乗法と定義します。$
$(2)\ \ G/Hは群となること$
(i)$\ 積の定義から閉じていることは明らかです。$
(ii)$\ 結合律$
$\qquad Ha(HbHc)=HaH(bc)=Ha(bc)=H(ab)c=H(ab)Hc=(HaHb)Hc$
(iii)$\ 単位元$
$\qquad H(Ha)=(HH)a=Ha$
$\qquad (Ha)H=(aH)H=a(HH)=aH=Ha$
$\qquad よって、Hは単位元$
(iv)$\ 逆元$
$\qquad HaHa^{-1}=Haa^{-1}=He=H$
$\qquad Ha^{-1}Ha=Ha^{-1}a=He=H$
$\qquad よって、Ha^{-1}はHaの逆元$
(i)～(iv)$から \ G/H\ は群となることがわかったが、この群を剰余群、因子群あるいは商群といいます。$
$例2 \ \ 位数6の巡回群\ \ G=\{e,\ a,\ a^2,\ a^3,\ a^4,\ a^5\ |\ a^6=e\}\ \ を考える。$
$巡回群は可換群だから部分群も可換群である。したがって、右剰余類と左剰余類は一致し、正規部分群となります。$
$位数6の群の部分群の位数は、ラグランジュの定理から6の約数の3と2があります。$
(i)$\ 位数3の正規部分群は\ \ H=\{e,\ a^2,\ a^4\}$
$\qquad Ha=\{a,\ a^3,\ a^5\}\ \ で、G/H=\{H,\ Ha\}$
$\qquad (Ha)^2=(Ha)(Ha)=Ha^2=H\ \ に注意して、剰余群の演算表は$
\[ \qquad \begin{array}{c|c c } \ \times \ &\ H\ &\ Ha\\ \hline \ H\ & H & Ha\\ \ Ha\ & Ha & H\\ \end{array} \] $\qquad G/H \ は \ Ha \ を生成元とする位数2の巡回群です。$
(ii)$\ 位数2の正規部分群は\ \ K=\{e,a^3\}$
$\qquad Ka=\{a,a^4\},\ \ Ka^2=\{a^2,a^5\}\ \ で、G/H=\{K,Ka,Ka^2\}$
$\qquad (Ka)^2=Ka^2 ,\ \ (Ka)(Ka^2)=Ka^3=K ,\ \ (Ka^2)(Ka^2)=Ka^4=Ka \ \ に注意して、剰余群の演算表は$
\[ \qquad \begin{array}{c|c c } \ \times \ &\ K\ &\ Ka\ &\ Ka^2\\ \hline \ K\ & K & Ka & Ka^2\\ \ Ka\ & Ka & Ka^2 & K\\ \ Ka^2\ & Ka^2 & K & Ka\\ \end{array} \] $\qquad Ka^2=(Ka)^2 \ だからG/K はKaを生成元とする位数3の巡回群です。$
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