新潟大学(理系) 2023年　問題2


$一辺の長さが \ 2\ の正四面体 \ ABCD\ において、辺 \ AB,\ BC,\ CD,\ DA,\ AC,\ BD\ の中点をそれぞれ$
$P,\ Q,\ R,\ S,\ T,\ U\ とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 線分 \ PR\ の長さを求めよ。$
$(2)\ \ \cos \angle SBR \ の値を求めよ。$
$(3)\ \ 四角形 \ PTRU\ を底面、点 \ Q\ を頂点とする四角錐の体積を求めよ。$


(1)

　

$点 \ R\ は正三角形 \ ACD\ における辺 \ CD\ の中点だから$

$AR \perp CD \quad よって \quad AR=AC\sin 60°=2 \times \cfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

$また$

$点 \ R\ は正三角形 \ BCD\ における辺 \ CD\ の中点だから$

$BR \perp CD \quad よって \quad BR=BC\sin 60°=2 \times \cfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

$\triangle RAB \ は \ RA=RB=\sqrt{3} \ の二等辺三角形で、$

$点 \ P\ は辺 \ AB\ の中点だから \quad RP \perp AB $

$よって \quad PR^2=AR^2-AP^2=3-1=2 \quad \therefore \ \ PR=\sqrt{2}$


(2)

　

$点 \ S\ は正三角形 \ ABD\ における辺 \ AD\ の中点だから$

$BS \perp AD \quad よって \quad BS=AB\sin 60°=2 \times \cfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

$また$

$正三角形 \ ACD\ で、点 \ S,\ R\ はそれぞれ \ AD,\ CD\ の中点だから$

$中点連結定理により \quad SR=\cfrac{1}{2}AC=\cfrac{1}{2} \times 2=1$

$(1)より \ \ BR=\sqrt{3} \quad だから$

$二等辺三角形 \ BRS\ に余弦定理を用いて$

$\cos \angle SBR=\cfrac{BR^2+BS^2-RS^2}{2BR\cdot BS}=\cfrac{3+3-1}{2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}}=\cfrac{5}{6}$


(3)

　

$点 \ P,\ T,\ R,\ U\ はそれぞれ辺 \ AB,\ AC,\ CD,\ BD\ の中点だから、$

$\triangle ABC,\ \ \triangle CDA,\ \ \triangle DBC,\ \ \triangle BDA \ \ で$

$中点連結の定理より \quad PT=\cfrac{1}{2}BC=\cfrac{1}{2} \times 2=1$

$同様にして \quad TR=\cfrac{1}{2}AD=1,\quad RU=\cfrac{1}{2}CB=1,\quad UP=\cfrac{1}{2}DA=1$

$よって \quad PT=TR=RU=UP=1$

$また$

$\triangle PTR \quad において \quad PT=TR=1,\quad (1)より \ \ PR=\sqrt{2}\quad だから$

$PR^2=PT^2+ TR^2 \quad が成り立つ。よって \quad \triangle PTR \ \ は \ \ \angle PTR=90 °の直角二等辺三角形である。$

$したがって \ \ 四角形 \ PTRU \ は \ 1\ 辺が \ 1\ の正方形である。$

$また、点 \ Q\ は辺 \ BC\ の中点だから中点連結の定理より \quad QP=\cfrac{1}{2}CA=\cfrac{1}{2} \times 2=1$

$同様にして \quad QT=\cfrac{1}{2}BA=1,\quad QR=\cfrac{1}{2}BD=1,\quad QU=\cfrac{1}{2}CD=1$

$QP=QT=QR=QU=1 \quad だから \ 四角形 \ PTRU\ を底面、点 \ Q\ を頂点とする四角錐は正四角錐である。$

$正方形 \ PTRU\ の対角線の交点を \ O\ とすると$

$\triangle QPR \ は \ QP=QR\ の二等辺三角形で、点 \ O\ は \ PR\ の中点だから \quad OQ \perp PR$

$同様に \quad \triangle QTU \ は \ QT=QU \ の二等辺三角形で、点 \ O\ は \ TU\ の中点だから \quad OQ \perp TU$

$OQ\ は交わる \ 2\ 直線 \ PR,\ TU \ にそれぞれ垂直だから \quad OQ \perp 正方形 \ PTRU$

$ \quad (このことについては($三垂線の定理$)を参考にしてください。)$

$よって \quad OQ \perp OP \qquad \triangle OPQ\ は直角三角形だから$

$OQ^2=PQ^2-OP^2=PQ^2-(\cfrac{1}{2} PR)^2=1-(\cfrac{\sqrt{2}}{2})^2=\cfrac{1}{2}$

$\therefore \ \ OQ=\cfrac{1}{\sqrt{2}}$

$よって \ \ 正四角錐 \ Q-PTRU \ の体積 \ V\ は$

$V=\cfrac{1}{3} \times 正方形PTRU \times OQ==\cfrac{1}{3} \times 1^2 \times \cfrac{1}{\sqrt{2}}=\cfrac{\sqrt{2}}{6}$


ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る