モンティ・ホール問題


　モンティ・ホールは米国の「かけ引きしましょう」（Let's make a deal)という人気番組の
司会者の名前です。

このショーのゲストは３つの扉のうちから１つを選びます。
１つの扉には自動車が、残りの２つの扉にはヤギがいます。

あなた（ゲスト）が３つの扉の１つを選ぶと、司会者は残った２つの扉の１つを等確率で
開けますが、自動車のある扉は絶対に開けません。

したがって、必ずヤギがいる扉を開けるわけですが、その後、司会者はあなたに必ず次の
ように尋ねます。
「あなたは扉を変えますか。それともそのまま変えませんか。」

このときあなたはどうすればよいか。
扉をそのままにすべきか、それとも変えるべきかの判断を決定する問題です。


ここで、数学的にきちんと問題設定してみましょう。

（１）車（当たり）は扉Ａにある(としても一般性は失わない)ことを、司会者は知っているが、
　　あなた（ゲスト）は知らない。

（２）始めにあなたは扉を指定するが、３つの扉のどの扉を指定するのも同様に確からしい
　　（等確率で選ぶ）とする。


この問題を樹形図で表すと


したがって、あなたが

(1) 扉を変えなかったとき、当たる確率は　 $\cfrac{1}{6} + \cfrac{1}{6} = \cfrac{1}{3}$

(2) 扉を変えたとき、当たる確率は　　　　 $\cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{3} = \cfrac{2}{3}$


当たる確率は、扉を変えた方が２倍大きいので、「扉を変える」が賢明な手であることがわかります。





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