積率母関数


1　 モーメントと積率母関数


$確率変数Xについて、$

$\qquad \mu_k=E(X^k) \ \ (k=1,2,\cdots )$

$をk次のモーメント(積率)といいます。$
$Xの平均を\mu,分散を\sigma ^2 とするとき$
$\qquad \mu=E(X)=\mu_1$
$\qquad \sigma ^2=E(X^2)-E(X)^2=\mu_2 ^2-\mu ^2$

$などとあらわせます。このようにモーメントは確率分布の本質をあらわすものです。$

$また$
$\qquad \phi(\theta)=E(e^{\theta X})$

$をXの積率母関数といいますが、英語では \ moment \ \ generating \ \ function \ といいますので、$
$ここで「母」は「生成」という意味であろうと思います。$

$\qquad e^{\theta X}=1+\theta X+\cfrac{\theta ^2 X^2}{2!}+\cfrac{\theta ^3 X^3}{3!}+\cdots $

$とテーラー展開して、平均の性質を使うと$

$\qquad \phi(\theta)=E(1)+E(X)\theta +\cfrac{E(X^2)}{2!}\theta ^2 + \cfrac{E(X^3)}{3!}\theta ^3 +\cdots =1+\mu_1 \theta +\cfrac{\mu_2}{2!}\theta ^2+\cfrac{\mu_3}{3!}\theta ^3 + \cdots \hspace{10em}(1)$

$とあらわせます。$

$(1)を\theta で順次微分して$
$\qquad \phi(0)=1$
$\qquad \phi '(\theta)=\mu_1+\mu_2 \theta +\cfrac{\mu_3}{2!} \theta ^2 +\cdots \quad より　\phi'(0)=\mu_1$
$\qquad \phi ''(\theta)=\mu_2+\mu_3 \theta +\cfrac{\mu_4}{2!} \theta ^2 +\cdots \quad より　\phi''(0)=\mu_2$
$\hspace{5em} \vdots$
$一般に、\mu_k=\phi^{(k)}(0) \ \ と求まりますので、E(e^{\theta X})\ \ は積率が生成される関数となります。$


2　 正規分布の積率母関数


$\quad \phi(\theta)=E(e^{\theta X})$
\[\quad =\int _{-\infty} ^\infty e^{\theta x} \times \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}} \ \ dx\] \[\quad =\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int _{-\infty} ^\infty e^{-\dfrac{x^2-2(\mu +\sigma ^2 \ \theta )x+\mu ^2}{2\sigma ^2}} \ \ dx\] \[\quad =\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int _{-\infty} ^\infty e^{-\dfrac{1}{2\sigma ^2}\bigl\{\bigl(x-(\mu+ \sigma ^2 \ \ \theta )\bigr)^2+\mu \theta +\dfrac{\sigma ^2 \ \theta ^2}{2}\bigr\}} \ \ dx\] \[\quad =\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{\mu \theta +\dfrac{1}{2} \sigma ^2 \ \theta ^2} \int _{-\infty} ^\infty e^{-\dfrac{1}{2\sigma ^2} \bigl(x-(\mu+ \ \sigma ^2 \theta )\bigr)^2} \ \ dx\] $\qquad =\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{\mu \theta +\dfrac{1}{2} \sigma ^2 \ \theta ^2} \times \sqrt{2}\sigma \times \sqrt{\pi}$

$\qquad =e^{\mu \theta +\dfrac{1}{2} \sigma ^2 \ \theta ^2}$

$これを微分して$
$E(X)=\phi'(0)=\mu,\quad E(X^2)=\phi''(0)=\mu ^2+\sigma ^2 \ \ が得られます。$


3　積率母関数の性質


(i)$\ \phi(\theta)が積率母関数となるような確率分布は1つに限る。$

(ii)$確率分布列　P_1(X),\ \ P_2(X),\ \ \cdots \ \ に対する積率母関数列を \ \ \phi _1(\theta),\ \ \phi _2(\theta),\ \ \cdots \ \ とし、ある分布関数 P(X)に対して$

$\hspace{3em} n \rightarrow \infty \ \ のとき　P_n(X) \rightarrow P(X) \ \ ならば \ \ \phi_n(\theta) \rightarrow \phi(\theta)$

$\qquad となる積率母関数 \ \ \phi(\theta) \ \ がある。$


4　特性関数


$一般に確率分布P(X)に対する積率母関数\phi(\theta)は必ずしも存在するとは限らない。そこで$

$\qquad c(t)=E\{e^{itx}\}$

$を考えると、これはいつも存在します。(複素関数の知識が必要ですので、ここではこれ以上立ち入りません)$
$これを特性関数といいます。$

$正規分布の特性関数を求めてみましょう。$

\[c(t)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int _{-\infty}^{\infty} e^{itx-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}} \ \ dx\] $指数部分について$
\begin{eqnarray*} itx-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2} &=&itx-\cfrac{1}{2\sigma ^2}(x^2-2\mu x +\mu ^2)\\ &=&-\cfrac{1}{2\sigma ^2}\bigl(x^2-2(\mu + it\sigma ^2)x +\mu ^2 \bigr)\\ &=&-\cfrac{1}{2\sigma ^2}\bigl\{\bigl(x-(\mu + it\sigma ^2)\bigr)^2 +\mu ^2 -(\mu + it\sigma ^2)^2\bigr\}\\ &=&-\cfrac{1}{2\sigma ^2}\bigl\{\bigl(x-(\mu + it\sigma ^2)\bigr)^2 -2it\mu \sigma ^2 +t^2 \sigma ^4 \bigr\}\\ &=&it\mu -\cfrac{1}{2}t^2 \sigma ^2-\cfrac{1}{2\sigma ^2}\bigl(x-(\mu + it\sigma ^2)\bigr)^2 \end{eqnarray*} \[c(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{it\mu -\cfrac{1}{2}t^2 \sigma ^2} \int _{-\infty}^{\infty} e^{-\cfrac{1}{2\sigma ^2}\bigl(x-(\mu + it\sigma ^2)\bigr)^2} \ \ dx\] $積分部分をIとおく$

$\qquad \cfrac{x-(\mu + it\sigma ^2)}{\sqrt{2}\sigma}=u \ \ とおくと \ \ dx=\sqrt{2}\sigma du $
\[I= \int _{-\infty}^{\infty} e^{-u ^2}\times \sqrt{2}\sigma \ \ du =\sqrt{\pi} \times \sqrt{2}\sigma =\sqrt{2\pi}\sigma \] $\qquad \therefore c(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{it\mu -\cfrac{1}{2}t^2 \sigma ^2} \times \sqrt{2\pi}\sigma =e^{it\mu -\cfrac{1}{2}t^2 \sigma ^2}$


5　キュムラント母関数


$積率母関数\phi(\theta)の対数をとって$

$\qquad \psi(\theta)=\log \phi(\theta)$

$を調べることがある。\psi(\theta) をキュムラント(cumulant)母関数といいます。$


$\qquad \psi(\theta)=C_0+C_1\theta+\cfrac{C_2}{2!}\theta ^2+\cdots \quad とテーラー展開した係数　C_0,C_1,C_2, \cdots を$
$それぞれ0次,1次,2次,\cdots のキュムラントといいます。$

$キュムランントとモーメントの間には次のような関係があります。$

$\qquad C_0=\psi(0)=\log \phi(0)=0$

$\qquad \psi '(\theta)=\cfrac{\phi '(\theta)}{\phi(\theta)} \ \ より　 C_1=\psi '(0)=\cfrac{\phi'(0)}{\phi(0)}=\mu_1$

$\qquad \psi ''(\theta)=\cfrac{\phi ''(\theta)\phi(\theta)-\phi '(\theta)^2}{\phi ^2(\theta)} \ \ より　 C_2=\psi ''(0)= \cfrac{\phi ''(0)\phi(0)-\phi '(0)^2}{\phi ^2(0)}=\mu_2-\mu_1^2=\sigma ^2$

$などです。$



　

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