九州大学(理系) 2020年 問題2
$a,b,c,d\ を整数とし、i\ を虚数単位とする。整式 \ f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d\ \ が \ \ f(\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2})=0\ \ を$
$みたすとき、以下の問いに答えよ。$
$\quad (1)\ \ c,d\ をa,b\ を用いて表せ。$
$\quad (2)\ \ f(1)を7で割ると1余り、11で割ると10余るとする。また、f(-1)を7で割ると3余り、11で割ると10余る$
$\qquad とする。aの絶対値とbの絶対値がともに40以下であるとき、方程式 \ f(x)=0\ \ の解をすべて求めよ。$
$(解説)$
$(1)は4次式の割り算で割り切れる条件を求める問題。$
$(2)は教科書によくある2元1次不定方程式の問題です。$
$2つの分野をつなぎ合わせた設問ですが、良問といっていい問題と思われますのでとりあげました。$
$なお、文系では、f(x)を3次式とした同様の問題が出題されています。$
(1)
$\alpha =\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}\ \ が \ f(x)=0\ \ の解だから\alpha の共役複素数 \ \ \overline{\alpha}=\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}\ \ も解となる。$
$このことについては($方程式の共役な解$)を参考にしてください。$
$\qquad \alpha +\overline{\alpha}=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}+\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}=1$
$\qquad \alpha \times \overline{\alpha}=\dfrac{1 \times \sqrt{3}i}{2}+\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}=\cfrac{1+3}{4}=1$
$したがって \alpha ,\ \ \overline{\alpha}\ \ は\ \ x^2-x+1=0\ \ の解となるから、f(x)\ は \ \ x^2-x+1\ \ で割り切れる。$
$割り算を行って$
$\qquad f(x)=(x^2-x+1)(x^2+(a+1)x+a+b)+(b+c-1)x-a-b+d$
$割り切れるから余りは0である。$
\[ \left\{ \begin{array}{l} b+c-1=0\\ -a-b+d=0\\ \end{array} \right. \] $\qquad c=-b+1,\quad d=a+b$
$(前半の別解)$
$\quad x=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}\ \ より \ \ 2x-1=\sqrt{3}i\ \ だから両辺を平方して$
$\quad (2x-1)^2=-3$
$\quad 4x^2-4x+1=-3$
$\quad \therefore x^2-x+1=0 \quad と導いてもよいでしょう。$
(2)
(i)$\ \ f(-1)=1-a+b-c+d=1-a+b-(-b+1)+(a+b)=3b \ \ は$
$\qquad 7で割ると3余り、11で割ると10余るから、m,\ n\ を整数として$
$\qquad f(-1)=7m+3=11n+10 \quad とおける。$
$\quad 7(m-1)=11n \qquad 7と11は互いに素だから \ \ n=7p\ \ (pは整数)\ \ とおける。$
$よって f(-1)=11 \times 7p+10=77p+10$
$\quad f(-1)=3b \ \ だから$
$\quad 3b=77p+10 $
$\quad 3b-77p=10 \hspace{15em}①$
$\quad 3b-77p=1\ \ の解は \ \ b=26,\ p=1\ \ が見つかるから$
$\quad 3 \times 26 -77 \times 1=1$
$両辺10倍して$
$\quad 3 \times 260 -77 \times 10=10 \hspace{11em}②$
$①-②$
$\quad 3(b-260)-77(p-10)=0$
$\quad 3(b-260)=77(p-10)$
$3と77は互いに素だから \ \ b-260=77q \ \ (qは整数)\ \ とおける。$
$\quad b=260+77q$
$\quad |b| \leqq 40 だから -40 \leqq 260+77q \leqq 40$
$\quad -\cfrac{300}{77} \leqq q \leqq -\cfrac{220}{77}$
$\quad -3.9 < q < -2.8\ \ より \ \ q=-3 \quad よって \quad b=260+77 \times (-3)=29$
(ii)$\ \ f(1)=1+a+b+c+d=1+a+b+(-b+1)+(a+b)=2a+b+2=2a+31\ \ は$
$\quad f(1)\ は7で割ると1余り、11で割ると10余るからk,lを整数として$
$\quad f(1)=7k+1=11l+10 \ \ とおける。$
$\quad 7k-11l=9 \hspace{16em}③$
$\quad 7k-11l=1 \ \ の解は \ \ k=-3,\ \ l=-2\ \ が見つかるから$
$\quad 7 \times (-3)-11 \times (-2)=1 $
$両辺9倍して$
$\quad 7 \times (-27)-11 \times (-18)=9 \hspace{10em}④$
$③-④$
$\quad 7(k+27)-11(l+18)=0$
$\quad 7(k+27)=11(l+18)$
$7と11は互いに素だから \quad k+27=11u \ \ (uは整数)\ \ とおける。$
$\quad k=11u-27$
$\quad f(1)=2a+31 \ \ だから \ \ 2a+31=7(11u-27)+1$
$\quad 2a=77u-219$
$\quad |a| \leqq 40 \ \ だから \ \ -80 \leqq 77u-219 \leqq 80$
$\quad \cfrac{139}{77} \leqq u \leqq \cfrac{299}{77}$
$\quad 1.8 < u < 3.9 \ \ より \ \ u=2,3$
$\qquad u=2 \ \ のとき \ \ 2a=77 \times 2-219=-65 \ \ より \ \ a=-\cfrac{65}{2}\ \ となり \ a\ は整数だから不適$
$\qquad u=3 \ \ のとき \ \ 2a=77 \times 3-219=12 \ \ より \ \ a=6$
$したがって \quad a=6,\ \ b=29,\ \ c=-28,\ \ d=35$
$\quad f(x)=x^4+6x^3+29x^2-28x+35=(x^2-x+1)(x^2+7x+35)\ \ と因数分解できて$
$f(x)=0 の解は$
$\qquad x^2-x+1=0 \ \ より \ \ x=\cfrac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$
$\qquad x^2+7x+35=0\ \ より \ \ x=\cfrac{-7 \pm \sqrt{91}i}{2}$
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