方程式の共役な解


$定理 \ 1 \quad 共役な複素数の性質$

$\hspace{4em}$(i)$\ \ \overline{\alpha +\beta} =\overline{\alpha}+\overline{\beta} \hspace{4em}$ (ii)$\ \ \overline{\alpha \beta} =\overline{\alpha} \overline{\beta}$

$(証明)$

$\alpha =p+qi,\quad \beta =r+si \ \ (p,q,r,s は実数)\ \ とおく$

$\quad $ (i)$\\ \ \alpha +\beta =(p+qi)+(r+si)=(p+r)+(q+s)i \quad だから$

$\hspace{4em} \overline{\alpha +\beta} =(p+r)-(q+s)i=(p-qi)+(r-si)=\overline{\alpha}+\overline{\beta}$


$\quad $(ii)$\ \ \alpha \beta =(p+qi)(r+si)=(pr-qs)+(ps+qr)i \quad だから$

$\hspace{4em} \overline{\alpha \beta} =(pr-qs)-(ps+qr)i=(p-qi)(r-si)=\overline{\alpha}\overline{\beta}$


$定理\ 2 \quad 実数係数の \ n\ 次方程式が虚数解 \ \alpha \ \ をもてば、その共役な複素数 \ \ \overline{\alpha}\ \ も解である。$

$(証明)$

$3次方程式について調べてみましょう。$

$\quad ax^3+bx^2+cx+d=0 \ \ が虚数解\alpha をもつとすると$

$\quad a\alpha ^3+b\alpha ^2+c\alpha +d=0 $

$両辺の共役な複素数をとって$

$\quad\overline{a\alpha ^3+b\alpha ^2+c\alpha +d}=\overline{0} $

$共役な複素数の性質を用いて$

$\quad \overline{a\alpha ^3}+\overline{b\alpha ^2}+\overline{c\alpha} +\overline{d}=\overline{0} $

$\quad \overline{a}\overline{\alpha ^3}+\overline{b}\overline{\alpha ^2}+\overline{c}\overline{\alpha} +\overline{d}=\overline{0} $

$a,b,c,d\ \ は実数であるから$

$\quad a(\overline{\alpha })^3+b(\overline{\alpha})^2+c\overline{\alpha} +d=0 $

$これは、\overline{\alpha}が解であることを示している。$


$定理 \ 3 \quad 有理数係数の \ n\ 次方程式 \ \ f(x)=0\ \ が \ p+\sqrt{q}\ \ (p,q は有理数で、\sqrt{q}は無理数)\ を解にもつとき$
$\hspace{4em} p-\sqrt{q}\ \ もまた解である。$

$(証明)$

$3次方程式について調べてみましょう。$

$\quad p+\sqrt{q}\ \ が \quad f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0\ \ (a \ne 0)\ \ の解ならば$

$\quad f(p+\sqrt{q})=a(p+\sqrt{q})^3+b(p+\sqrt{q})^2+c(p+\sqrt{q})+d=0 $

$\quad (ap^3+3apq+bp^2+bq+cp+d)+(3ap^2+aq+2bp+c)\sqrt{q}=0$

$\quad ap^3+3apq+bp^2+bq+cp+d \ \ と \ \ 3ap^2+aq+2bp+c \ \ はともに有理数で \ \sqrt{q}\ は無理数だから$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} ap^3+3apq+bp^2+bq+cp+d =0\\ 3ap^2+aq+2bp+c=0\\ \end{array} \right. \] $このとき$

$\qquad f(p-\sqrt{q})$
\begin{eqnarray*} &=&a(p-\sqrt{q})^3+b(p-\sqrt{q})^2+c(p-\sqrt{q})+d\\ \\ &=&(ap^3+3apq+bp^2+bq+cp+d)- (3ap^2+aq+2bp+c)\sqrt{q}\\ \\ &=&0\\ \end{eqnarray*} $よって　p-\sqrt{q}\ \ は解である。$

$同様にして　p-\sqrt{q}\ \ が解ならば \ \ p+\sqrt{q}\ \ も解となる。$



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