京都大学(理系) 2022年 問題4
$四面体 \ OABC\ が \ OA=4,\ OB=AB=BC=3,\ OC=AC=2\sqrt{3}\ \ を満たしているとする。$
$P\ を辺 \ BC\ 上の点とし、\triangle OAP\ の重心を \ G\ とする。このとき、次の各問に答えよ。$
$(1)\ \ \vec{PG} \perp \vec{OA} \ \ を示せ。$
$(2)\ \ P\ が辺 \ BC\ 上を動くとき、PG\ の最小値を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ \vec{PH} \ を求めて、\vec{OA}\ との内積を計算します。$
$(2)\ \ |\vec{PH}|^2 \ \ は \ t\ の \ 2\ 次式になります。$
(1)
$\quad BP:PC=t:(1-t)\ \ (0 \leqq t \leqq 1)\ \ とおくと$
$\qquad \vec{OP}=(1-t)\vec{OB}+t\vec{OC} $
$\quad OA\ の中点を \ H\ とすると、点Gは重心だから線分PH上にある。$
$\quad \vec{PH}=\vec{OH}-\vec{OP}=\cfrac{1}{2}\vec{OA}-(1-t)\vec{OB}-t\vec{OC} \quad だから$
\begin{eqnarray*}
\vec{PH} \cdot \vec{OA}
&=&\big(\cfrac{1}{2}\vec{OA}-(1-t)\vec{OB}-t\vec{OC}\big) \cdot \vec{OA}\\
&=&\cfrac{1}{2}|\vec{OA}|^2-(1-t)\vec{OB} \cdot \vec{OA}-t\vec{OC} \cdot \vec{OA}\\
\end{eqnarray*}
$ここで、三角形の \ 2\ 辺の内積は$
$\quad $(i)$\ \ \vec{OA}\cdot \vec{OA}=|\vec{OA}|^2= 16$
$\quad $(ii)$\ \ \vec{OA}\cdot \vec{OB}=\cfrac{1}{2}(4^2+3^2-3^2)=8$
$\quad $(iii)$\ \ \vec{OB}\cdot \vec{OC}=\cfrac{1}{2}(3^2+(2\sqrt{3})^2-3^2)=6$
$\quad $(iv)$\ \ \vec{OC}\cdot \vec{OA}=\cfrac{1}{2}((2\sqrt{3})^2+4^2-(2\sqrt{3})^2)=8$
$\qquad ($(ii),(iii),(iv)$\ \ \ の2\ 辺の内積の求め方は$三角形の2辺の内積$を参考にしてください。)$
$よって$
\begin{eqnarray*}
\vec{PH} \cdot \vec{OA}
&=&\cfrac{1}{2}|\vec{OA}|^2-(1-t)\vec{OB} \cdot \vec{OA}-t\vec{OC} \cdot \vec{OA}\\
&=&\cfrac{1}{2} \times 16 -(1-t) \times 8 -t \times 8\\
&=&0
\end{eqnarray*}
$したがって \vec{PH} \perp \vec{OA} \quad すなわち \quad \vec{PG} \perp \vec{OA} $
(2)
$\quad (1) より \quad \vec{PH}=\cfrac{1}{2}\vec{OA}-(1-t)\vec{OB}-t\vec{OC} \quad だから$
\begin{eqnarray*} |\vec{PH}|^2 &=&\big|\cfrac{1}{2}\vec{OA}-(1-t)\vec{OB}-t\vec{OC}\big|^2\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}|\vec{OA}|^2+(1-t)^2|\vec{OB}|^2+t^2|\vec{OC}|^2-(1-t)\vec{OA}\cdot \vec{OB}+2t(1-t)\vec{OB} \cdot \vec{OC}-t\vec{OC}\cdot \vec{OA}\\ \\ &=&4+9(1-t)^2 +12t^2 -8(1-t) +12t(1-t) -8t \\ \\ &=&9t^2-6t+5\\ \\ &=&9(t-\cfrac{1}{3})^2+4\\ \end{eqnarray*} $\quad PH \ \ は \quad t=\cfrac{1}{3} \quad のとき \ \ 最小値 \ \ 2\ をとるから、PG=\cfrac{2}{3}PH \quad より$
$\quad PG \ は点 \ P\ が \ BP\ を \ 1:2\ に内分する点で、最小値 \ \ \cfrac{4}{3}\ \ をとる。$
$(別解)$
$(1)より \quad PH \perp OA \quad だから$
\begin{eqnarray*} PH^2 &=&OP^2-OH^2\\ &=&|(1-t)\vec{OB}+t\vec{OC}|^2-(\cfrac{1}{2}OA)^2\\ \\ &=&(1-t)^2|\vec{OB}|^2+2t(1-t)\vec{OB} \cdot \vec{OC}+t^2|\vec{OC}|^2-4\\ \\ &=&9(1-t)^2 +12t(1-t) +12t^2 -4\\ \\ &=&9t^2-6t+5\\ \\ &=&9(t-\cfrac{1}{3})^2+4\\ \end{eqnarray*} $\quad この方が少しだけ計算が楽になります。$
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