速度・加速度の2次元極座標表示


1 原点の回りの角$\theta$ の回転の表す単位ベクトル

 

$右図のように、x軸、y軸上の基本ベクトルを$
$\vec{i},\ \vec{j}\ とし、原点の回りに角 \ \theta \ 回転させた軸を$
$X軸,\ Y軸とし、それらの単位ベクトルをそれぞれ$
$\vec{e_1}_,\ \vec{e_2} とする。$

$\quad \vec{i}\cdot \vec{e_1}=\cos \theta$
$\quad \vec{j}\cdot \vec{e_1}=\cos (\cfrac{\pi}{2}-\theta)=\sin \theta$
$\quad \vec{i}\cdot \vec{e_2}=\cos (\cfrac{\pi}{2}+\theta)=-\sin \theta$
$\quad \vec{j}\cdot \vec{e_2}=\cos \theta$

$平面上の任意のベクトルは一次独立な2つのベクトルを用いて線形結合で表されるから$
$\quad \vec{e_1}=k\ \vec{i}+l\ \vec{j} \quad (k,l \ は実数)とおける$

$両辺に\ \vec{i}\ をかけて$
$\quad \vec{i} \cdot \vec{e_1}=k\ \vec{i} \cdot\vec{i}+l\ \vec{i} \cdot \vec{j}$
$\quad \cos \theta =k$
$両辺に\vec{j}をかけて$
$\quad \vec{j} \cdot \vec{e_1}=k\ \vec{j} \cdot\vec{i}+l\ \vec{j} \cdot \vec{j}$
$\quad \sin \theta =l$
$よって \vec{e_1}=\cos \theta \ \vec{i}+\sin \theta \ \vec{j} $

$同様にして$
$\quad \vec{e_2}=m\ \vec{i}+n\ \vec{j} \quad (m,n \ は実数)とおけるから$

$両辺に\vec{i}をかけて$
$\quad \vec{i} \cdot \vec{e_2}=m\ \vec{i} \cdot\vec{i}+n\ \vec{i} \cdot \vec{j}$
$\quad -\sin \theta =m$
$両辺に\vec{j}をかけて$
$\quad \vec{j} \cdot \vec{e_2}=m\ \vec{j} \cdot\vec{i}+n\ \vec{j} \cdot \vec{j}$
$\quad \cos \theta =n$
$よって \vec{e_2}=-\sin \theta \ \vec{i}+\cos \theta \ \vec{j} $

$逆は$

$\quad \vec{i}=p\ \vec{e_1}+q\ \vec{e_2} \quad (p,q は実数)とおけるから$

$両辺に\vec{e_1}をかけて$
$\quad \vec{i} \cdot \vec{e_1}=p\ \vec{e_1} \cdot\vec{e_1}+q\ \vec{e_2} \cdot \vec{e_1}$
$\quad \cos \theta =p$
$両辺に\vec{e_2}をかけて$
$\quad \vec{i} \cdot \vec{e_2}=p\ \vec{e_1} \cdot\vec{e_2}+q\ \vec{e_2} \cdot \vec{e_2}$
$\quad -\sin \theta =q$
$よって \quad \vec{i}=\cos \theta \ \vec{e_1}-\sin \theta \ \vec{e_2}$

$同様にして$
$\quad \vec{j}=r \vec{e_1}+s\ \vec{e_2} \quad (r,s は実数)とおけるから$

$両辺に\vec{e_1}をかけて$
$\quad \vec{j} \cdot \vec{e_1}=r\ \vec{e_1} \cdot\vec{e_1}+s\ \vec{e_2} \cdot \vec{e_1}$
$\quad \sin \theta =r$
$両辺に\vec{e_2}をかけて$
$\quad \vec{j} \cdot \vec{e_2}=r\ \vec{e_1} \cdot \vec{e_2}+s\ \vec{e_2} \cdot \vec{e_2}$
$\quad \cos \theta =s$
$よって \quad \vec{j}=\sin \theta \ \vec{e_1}+\cos \theta \ \vec{e_2}$

$まとめると$

$\qquad \vec{i},\ \vec{j}\ と\ \vec{e_1},\ \vec{e_2}\ の変換公式$

$\hspace{3em} \vec{e_1}=\cos \theta \ \vec{i}+\sin \theta \ \vec{j} , \quad \vec{e_2}=-\sin \theta \ \vec{i}+\cos \theta \ \vec{j} $

$\hspace{3em} \vec{i}=\cos \theta \ \vec{e_1}-\sin \theta \ \vec{e_2}, \quad \vec{j}=\sin \theta \ \vec{e_1}+\cos \theta \ \vec{e_2}$



2 回転した軸からみたベクトルの成分

 

$\vec{OP}=\vec{p}\ をx,\ y\ 座標軸で表したときの成分を$
$(p_x,p_y)\ とすると$
\begin{eqnarray*} \vec{p}&=&p_x\ \vec{i}+p_y\ \vec{j}\hspace{5em}\\ &=&p_x(\cos \theta \ \vec{e_1}-\sin \theta \ \vec{e_2})+p_y(\sin \theta \ \vec{e_1}+\cos \theta \ \vec{e_2})\\ &=&(p_x\cos \theta + p_y\sin \theta)\vec{e_1}+(-p_x\sin \theta +p_y\cos \theta)\vec{e_2}\\ \end{eqnarray*} $よって、\vec{p}\ を\ X,Y座標軸で表したときの成分を$
$(p_1,p_2)\ とすると$

$\qquad p_1=p_x\ \cos \theta + p_y\ \sin \theta$
$\qquad p_2=-p_x\ \sin \theta +p_y\ \cos \theta $


$逆は$
\begin{eqnarray*} \vec{p}&=&p_1\ \vec{e_1}+p_2\ \vec{e_2}\\ &=&p_1(\cos \theta \ \vec{i}+\sin \theta \ \vec{j})+p_2(-\sin \theta \ \vec{i}+\cos \theta \ \vec{j})\\ &=&(p_1\cos \theta - p_2\sin \theta)\ \vec{i}+(p_1\sin \theta +p_2\cos \theta)\ \vec{j}\\ \end{eqnarray*} $よって、\vec{p}\ を\ x,\ y\ 座標軸で表したときの成分を(p_x,\ p_y)とすると$

$\qquad p_x=p_1\ \cos \theta - p_2\ \sin \theta$
$\qquad p_y=p_1\ \sin \theta + p_2\ \cos \theta $


3 速度・加速度の極座標表示


$座標平面上の点P\ について、OP=r,\ 線分\ OP\ とx軸のなす角を\ \theta \ とする。$
$\vec{OP}\ の方向を\ r\ 軸方向といい、上の説明のX軸に相当する。$
$Y軸に相当する軸を\ \theta \ 軸という。$

$x,y\ 直交座標と極座標には$

$\qquad x=r\cos \theta , \quad y=r\sin \theta $

$の関係がある。$

$(1) 速度の極座標表示$

$点Pが時間とともに運動するとき、速度の\ x,\ y,\ r,\ \theta \ 成分をそれぞれ\ v_x,\ v_y,\ v_r,\ v_\theta \ とすると$

$\qquad v_x=\cfrac{dx}{dt}=\cfrac{dr}{dt}\cos \theta -r\sin \theta \cfrac{d\theta}{dt}$

$\qquad v_y=\cfrac{dy}{dt}=\cfrac{dr}{dt}\sin \theta +r\cos \theta \cfrac{d\theta}{dt}$

$\vec{v}=(v_x,\ v_y) \ を\ (v_r,\ v_\theta) \ で表すには上のp_1,\ p_2の式を利用して$
\begin{eqnarray*} v_r&=&v_x\cos \theta + v_y\sin \theta\\ &=&\big(\cfrac{dr}{dt}\cos \theta -r\sin \theta \cfrac{d\theta}{dt}\big)\cos \theta +\big(\cfrac{dr}{dt}\sin \theta +r\cos \theta \cfrac{d\theta}{dt}\big)\sin \theta\\ &=&\cfrac{dr}{dt}\cos ^2 \theta + \cfrac{dr}{dt}\sin ^2 \theta \\ &=&\cfrac{dr}{dt}\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} v_\theta &=&-v_x\sin \theta + v_y\cos \theta\\ &=&-\big(\cfrac{dr}{dt}\cos \theta -r\sin \theta \cfrac{d\theta}{dt}\big)\sin \theta +\big(\cfrac{dr}{dt}\sin \theta +r\cos \theta \cfrac{d\theta}{dt}\big)\cos \theta\\ &=&r\sin ^2\theta \cfrac{d\theta }{dt} + r\cos ^2\theta \cfrac{d\theta }{dt} \\ &=&r \cfrac{d\theta }{dt}\\ \end{eqnarray*}

$(2) 加速度の極座標表示$

$加速度の\ x,\ y,\ r,\ \theta \ 成分をそれぞれ \ a_x,\ a_y,\ a_r,\ a_\theta \ とすると$

\begin{eqnarray*} a_x&=&\cfrac{dv_x}{dt}\\ &=&\cfrac{d}{dt}\big(\cfrac{dr}{dt}\cos \theta -r\sin \theta \cfrac{d\theta}{dt}\big)\\ &=&\cfrac{d^2r}{dt^2}\cos \theta +\cfrac{dr}{dt}(-\sin \theta)\cfrac{d\theta}{dt}-\cfrac{dr}{dt}\sin \theta \cfrac{d\theta}{dt} -r\big\{\cos \theta \big(\cfrac{d\theta}{dt}\big)^2+\sin \theta \cfrac{d^2\theta}{dt^2}\big\}\\ &=&\cfrac{d^2r}{dt^2}\cos \theta -2\sin \theta \cfrac{dr}{dt}\cfrac{d\theta}{dt}-r\cos \theta \big(\cfrac{d\theta}{dt}\big)^2-r\sin \theta \cfrac{d^2\theta}{dt^2}\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} a_y&=&\cfrac{dv_y}{dt}\\ &=&\cfrac{d}{dt}\big(\cfrac{dr}{dt}\sin \theta +r\cos \theta \cfrac{d\theta}{dt}\big)\\ &=&\cfrac{d^2r}{dt^2}\sin \theta +\cfrac{dr}{dt}\cos \theta\cfrac{d\theta}{dt}+\cfrac{dr}{dt}\cos \theta \cfrac{d\theta}{dt} +r\big\{-\sin \theta \big(\cfrac{d\theta}{dt}\big)^2+\cos \theta \cfrac{d^2\theta}{dt^2}\big\}\\ &=&\cfrac{d^2r}{dt^2}\sin \theta +2\cos \theta \cfrac{dr}{dt}\cfrac{d\theta}{dt}-r\sin \theta \big(\cfrac{d\theta}{dt}\big)^2+r\cos \theta \cfrac{d^2\theta}{dt^2}\\ \end{eqnarray*}
$\vec{a}=(a_x,\ a_y) \ を\ (a_r,\ a_\theta) \ で表すには上のp_1,\ p_2\ の式を利用して$
\begin{eqnarray*} a_r&=&a_x\cos \theta + a_y\sin \theta\\ &=&\big(\cfrac{d^2r}{dt^2}\cos \theta -2\sin \theta \cfrac{dr}{dt}\cfrac{d\theta}{dt}-r\cos \theta \big(\cfrac{d\theta}{dt}\big)^2-r\sin \theta \cfrac{d^2\theta}{dt^2}\big)\cos \theta \\ && +\big(\cfrac{d^2r}{dt^2}\sin \theta +2\cos \theta \cfrac{dr}{dt}\cfrac{d\theta}{dt}-r\sin \theta \big(\cfrac{d\theta}{dt}\big)^2+r\cos \theta \cfrac{d^2\theta}{dt^2}\big)\sin \theta \\ &=&\cfrac{d^2r}{dt^2} -r\big(\cfrac{d\theta}{dt}\big)^2 \\ \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} a_\theta&=&-a_x\sin \theta + a_y\cos \theta\\ &=&-\big(\cfrac{d^2r}{dt^2}\cos \theta -2\sin \theta \cfrac{dr}{dt}\cfrac{d\theta}{dt}-r\cos \theta \big(\cfrac{d\theta}{dt}\big)^2-r\sin \theta \cfrac{d^2\theta}{dt^2}\big)\sin \theta \\ && +\big(\cfrac{d^2r}{dt^2}\sin \theta +2\cos \theta \cfrac{dr}{dt}\cfrac{d\theta}{dt}-r\sin \theta \big(\cfrac{d\theta}{dt}\big)^2+r\cos \theta \cfrac{d^2\theta}{dt^2}\big)\cos \theta \\ &=&2\cfrac{dr}{dt}\cfrac{d\theta}{dt}+r \cfrac{d^2\theta}{dt^2} \\ &=&\cfrac{1}{r}\cfrac{d}{dt}\big(r^2\cfrac{d\theta}{dt}\big)\\ \end{eqnarray*}




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