関西学院大学(理系) 2026年 A 問題3
$次の文章中の \ \fbox{$ $}\ に適する式または数値を求めよ。$
$1\ から \ 9\ までの整数を \ 1\ つずつ書いた \ 9\ 枚のカードが箱に入っている。この箱から \ 4\ 枚のカードを同時に$
$取り出し、取り出したカードに書いてある整数を小さい順に \ a,\ b,\ c,\ d\ とする。このとき$
$\qquad X=a+b+c+d ,\quad Y=abcd \ \ と定める。$
$(1)\ \ カードの取り出し方は全部で \ \fbox{$ \quad ア \quad $}\ 通りあり、a,\ b,\ c,\ d\ のうち \ 1\ つが奇数で \ 3\ つが偶数となる取り$
$\quad 出し方は \ \fbox{$\quad イ \quad $}\ 通り、a,\ b,\ c,\ d\ のうち \ 3\ つが奇数で \ 1\ つが偶数となる取り出し方は \ \fbox{$\quad ウ \quad $}\ 通りある。$
$(2)\ \ X\ が奇数となる確率は \ \fbox{$\quad エ \quad $}、X \leqq 12 \ \ となる確率は \ \fbox{$\quad オ \quad $}\ である。$
$(3)\ \ Y\ が偶数となる確率は \ \fbox{$\quad カ \quad $}、Y\ が \ 5\ の倍数となる確率は \ \fbox{$\quad キ \quad $}\ であり、Y\ が偶数かつ \ Y\ が \ 5\ の$
$\quad 倍数となる確率は \ \fbox{$\quad ク \quad $}\ である。$
(1)
$異なる \ 9\ 枚のカードから \ 4\ 枚のカードを選び、順序をつけて並べるから組み合わせとなる。$
(i)$\ \ 全部で \quad {}_{9}C_4=\dfrac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2}=126\ \ (通り)$
(ii)$\ \ a,\ b,\ c,\ d\ のうち \ 1\ つが奇数で \ 3\ つが偶数となる取り出し方は $
$\quad \{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9\} \ \ から \ 1\ 枚、\{2,\ 4,\ 6,\ 8,\}\ \ から \ 3\ 枚取り出せばよいから$
$\quad {}_{5}C_1 \times {}_{4}C_3 ={}_{5}C_1 \times {}_{4}C_1=5 \times 4=20\ \ (通り)$
(iii)$\ \ a,\ b,\ c,\ d\ のうち \ 3\ つが奇数で \ 1\ つが偶数となる取り出し方は $
$\quad \{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9\}\ \ から \ 3\ 枚、\{2,\ 4,\ 6,\ 8,\}\ \ から \ 1\ 枚取り出せばよいから$
$\quad {}_{5}C_3 \times {}_{4}C_1 ={}_{5}C_2 \times {}_{4}C_1=\dfrac{5 \times 4}{2} \times 4=40\ \ (通り)$
(2)
(i)$\ \ 4\ 枚のカードの取り出し方は全部で、 (1)$(i)$ \ \ より \quad 126\ \ 通り$
$\quad X\ が奇数となるの取り出し方は$
$\quad \ \ a,\ b,\ c,\ d\ のうち \ 1\ つが奇数で \ 3\ つが偶数となる取り出し方は、(1)$(ii)$より\quad 20\ \ 通り$
$\quad \ \ a,\ b,\ c,\ d\ のうち \ 3\ つが奇数で \ 1\ つが偶数となる取り出し方は、(1)$(iii)$より\quad 40\ \ 通り$
$\quad この \ 2\ 通りの取り出し方は互いに排反だから合わせて \quad 60\ \ 通り$
$\quad X\ が奇数となる確率は \quad P=\dfrac{40}{126}=\dfrac{10}{21}$
(ii)$\ \ X \leqq 12 \ \ となるのは$
$\quad X=1+2+3+4=10,\quad X=1+2+3+5=11, $
$\quad X=1+2+3+6=12,\quad X=1+2+4+5=12 \ \ の \ 4\ \ 通り$
$\quad X \leqq 12 \ \ となる確率は \quad P=\dfrac{4}{126}=\dfrac{2}{63}$
(3)
$Y\ が偶数となる事象を \ A,\ \ 5\ の倍数となる事象を \ B\ とする。$
$Y\ が奇数(\overline{A})\ となるのは、4\ 枚とも奇数の場合だから \quad n(\overline{A})={}_{5}C_4=5\ \ (通り)$
$よって、Y\ が偶数(A) \ となるのは、n(A)=126-5=121\ \ (通り)\ \ だからその確率は \quad P(A)=\dfrac{121}{126}$
$Y\ が \ 5\ の倍数(B)\ となるのは、5\ を含み、残り \ 3\ 枚はどの数字でもよいから \quad n(B)={}_{8}C_3=\dfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2}=56\ \ (通り)$
$よって その確率は、\quad P(B)=\dfrac{56}{126}=\dfrac{4}{9}$
$4\ 枚が \ 1,\ 3,\ 7,\ 9\ \ の場合だから \ 1\ 通り$
$すなわち \quad n(\overline{A} \cap \overline{B})=1$
$以上のことから、事象 \ \ A \cap B, \ A \cap \overline{B},\ \overline{A} \cap B, \overline{A} \cap \overline{B}\ \ の$
$4\ つの事象の要素の個数が右のような表で得られる。$
$この表については($条件付き確率$)を参考にしてください。$
$したがって、Y\ が偶数かつ \ Y\ が \ 5\ の倍数となる確率は \quad P(A \cap B)=\dfrac{52}{126}=\dfrac{26}{63}$
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