鹿児島大学(理系) 2023年　問題4


$x > 0\ で定義された曲線 \ C:y=(\log x)^2 \ \ を考える。$
$(1)\ \ a\ を正の実数とするとき、点 \ P(a,\ (\log a)^2)\ における曲線 \ C\ の接線 \ L\ の方程式を求めよ。$
$(2)\ \ a > 1\ のとき、接線 \ L\ と \ x\ 軸の交点の \ x\ 座標が最大となる場合の \ a\ の値 \ a_0\ を求めよ。$
$(3)\ \ a\ の値が(2)の \ a_0\ に等しいとき、直線 \ L\ の \ y \geqq 0 \ の部分と曲線 \ C\ と \ x\ 軸で囲まれた部分を、$
$\quad x\ 軸の周りに \ 1\ 回転させてできる図形の体積を求めよ。$


(1)


$y'=2\log x \times \cfrac{1}{x}=\cfrac{2\log x}{x}$

$y''=\cfrac{2-2\log x}{x^2}=\cfrac{2(1-\log x)}{x^2}$

$y'=0 \quad より \quad x=1,\qquad y''=0 \quad より \quad x=e$

　

$y\ の増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & 1 & \cdots & e & \cdots \\ \hline y' & & - & 0 & + & + & + \\ \hline y'' & & + & + & + & 0 & - \\ \hline y & & \searrow & 極小 & \nearrow & 変曲点 & \nearrow \\ & & 下に凸 & & 下に凸 & & 上に凸 \\ \end{array} \]
$y\ は \ \ ｘ＝1\ \ で極小となり、極小値は\ \ y=0$

$なお、グラフは右図のとおりである。$

$点 \ P(a,\ (\log a)^2)\ における曲線 \ C\ の接線 \ L\ は$

$y=\cfrac{2\log a}{a} (x-a)+(\log a)^2$

$L : y=\cfrac{2\log a}{a}x +(\log a)^2 - 2\log a$


(2)


$(1)で求めた\ \ L : y=\cfrac{2\log a}{a}x +(\log a)^2 - 2\log a \ \ \ で \ \ y=0 \ \ とおくと$

$\cfrac{2\log a}{a}x +(\log a)^2 - 2\log a =0$

$a > 1 \quad より \quad \log a > 0 \quad だから \quad \cfrac{2\log a}{a} \quad で割って$

$x=\cfrac{a}{2\log a}(-(\log a)^2 + 2\log a)=a\big(1-\cfrac{\log a}{2}\big)$

$\cfrac{dx}{da}=\big(1-\cfrac{\log a}{2}\big)-a \times \cfrac{1}{2a}=\cfrac{1}{2}(1-\log a)$

$\cfrac{dx}{da}=0 \quad より \quad \log a=1 \qquad a=e$

　

$x\ の増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} a & 1 & \cdots & e & \cdots \\ \hline \cfrac{dx}{da} & & + & 0 & -\\ \hline x & & \nearrow & 極大 & \searrow \\ \end{array} \] $x\ は \ \ x=e\ \ で極大かつ最大となるから \quad a_0=e$

$最大値は \quad x=e(1-\cfrac{\log e}{2})=\cfrac{e}{2}$

$なお、x=e \ \ はグラフの変曲点であるが、区間 \ (1,\ e)\ で下に凸だから接線はグラフの下側にある。$

$このことについては($曲線の凹凸$)を参考にしてください。$

$したがって、グラフと接線が接点を除いて交わることはない。$


(3)

　

$求める回転体の体積 \ V\ は、$

$y=(\log x)^2 \ \ (1 \leqq x \leqq e)\ を \ x\ 軸の周りに \ 1\ 回転させた$

$体積 \ V_1\ から、\triangle ABC \ を \ x\ 軸の周りに \ 1\ 回転させた$

$円錐の体積 \ V_2\ を除いたものである。$

\[V_1=\pi \int_1^e (\log x )^4dx\]
$この積分を求めるために次の漸化式を求めておく$

\[I_n=\int_1^e (\log x)^ndx=\big[x(\log x)^n \big]_1^e - \int_1^e x\cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \cfrac{1}{x}dx=e-nI_{n-1}\]
\[I_0=\int_1^edx=[x]_1^e=e-1\]
$よって$
\begin{eqnarray*} I_4 &=&e-4I_3\\ \\ &=&e-4(e-3I_2)\\ \\ &=&-3e+12(e-2I_1)\\ \\ &=&9e-24(e-I_0)\\ \\ &=&-15e+24(e-1)\\ \\ &=&9e-24 \end{eqnarray*} $V_2=\cfrac{1}{3} \times \pi AB^2 \times AC=\cfrac{1}{3} \times \pi \times 1^2 \times \cfrac{e}{2}=\cfrac{\pi}{6}e$

$したがって \qquad V=\pi(9e-24)-\cfrac{\pi}{6}e=\pi(\cfrac{53}{6}e-24)$


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