2人がじゃんけんをして先にr回勝った方を勝者とする場合の回数


  1. r=2のとき

  2. r=3のとき

  3. r=4のとき


1。先に2回勝った方を勝者とする場合


$2人をA,Bとし、Aの各回での勝ちを$○、$負けを×、あいこを△で表す。$
$Aがn回目に勝つのは、n-1回目までが次の場合である。$

(i)$\ Aが1勝、Bが0勝の場合$

$\hspace{3em} n-1回までに、1回勝ち、残りはすべてあいこだから$

$\hspace{3em}$○△△……△|○

  これは、○が1個、△がn-2個の同じものを含む順列だから

$\hspace{3em} \cfrac{(n-1)!}{(n-2)!}=n-1$ 通り

(ii)$\ Aが1勝、Bが1勝の場合$

$\hspace{3em} n-1回までに、1回勝ち、1回負け、残りはすべてあいこだから$

$\hspace{3em}$○×△△……△|○

  これは、○が1個、×が1個、△がn-3個の同じものを含む順列だから

$\hspace{3em} \cfrac{(n-1)!}{(n-3)!}=(n-1)(n-2)$ 通り


(i)(ii)$\ は互いに排反だから、Aが2勝する場合の数は$

$\hspace{3em} (n-1)+(n-1)(n-2)=(n-1)^2$ 通り

$各回でAが勝つ、負ける、あいことなる確率はともに \ \cfrac{1}{3}\ であるから$
$\qquad Aが2勝する確率は \cfrac{(n-1)^2}{3^n}$

$\qquad Bが2勝する確率も同じだから、勝負がつく確率p(n)は$

$\hspace{3em} p(n)= \cfrac{2(n-1)^2}{3^n}$

したがって、確率分布は


$\hspace{6em} $

$\hspace{3em}期待値は$
\begin{eqnarray*} E&=&\sum _{n=1}^\infty n \times \cfrac{2(n-1)^2}{3^n} \hspace{26em}\\ &=&2 \sum _{n=1}^\infty \cfrac{n^3}{3^n}-4 \sum _{n=1}^\infty \cfrac{n^2}{3^n}+2 \sum _{n=1}^\infty \cfrac{n}{3^n} \\ &=&2 \times \cfrac{33}{8}-4 \times \cfrac{3}{2}+2 \times \cfrac{3}{4} \\ &=& \cfrac{15}{4}\\ \end{eqnarray*}
 グラフから、3回がピークで、2~4回でほとんど勝負が決まることがわかる。



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2。先に3回勝った方を勝者とする場合


$2人をA、Bとし、Aの各回での勝ちを$○、$負けを×、あいこを△で表す。$
$Aがn回目に勝つのは、n-1回目までが次の場合である。$

(i)$\ Aが2勝、Bが0勝の場合$

$\qquad  n-1回までに、2回勝ち、残りはすべてあいこだから$

$\hspace{3em}$○○△△……△|○

  これは、○が2個、△がn-3個の同じものを含む順列だから

$\hspace{3em} \cfrac{(n-1)!}{2!(n-3)!}=\cfrac{1}{2}(n-1)(n-2)$ 通り

(ii)$\ Aが2勝、Bが1勝の場合$

$\qquad  n-1回までに、2回勝ち、1回負け、残りはすべてあいこだから$

$\hspace{3em}$○○×△△……△|○

  これは、○が2個、×が1個、△がn-4個の同じものを含む順列だから

$\hspace{3em} \cfrac{(n-1)!}{2!(n-4)!}=\cfrac{1}{2}(n-1)(n-2)(n-3)$ 通り

(iii)$\ Aが2勝、Bが2勝の場合$

$\qquad  n-1回までに、2回勝ち、2回負け、残りはすべてあいこだから$

$\hspace{3em}$○○××△△……△|○

  これは、○が2個、×が2個、△がn-5個の同じものを含む順列だから

$\hspace{3em} \cfrac{(n-1)!}{2!2!(n-5)!}=\cfrac{1}{4}(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$ 通り


(i)(ii)(iii)$\ は互いに排反だから、Aが3勝する場合の数は$
$\hspace{4em}\cfrac{1}{2}(n-1)(n-2)+\cfrac{1}{2}(n-1)(n-2)(n-3)+\cfrac{1}{4}(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$
\begin{eqnarray*} &=&\cfrac{1}{4}(n-1)(n-2)\{2+2(n-3)+(n-3)(n-4)\hspace{22em}\\ &=&\cfrac{1}{4}((n-1)(n-2)(n^2-5n+8)\\ \end{eqnarray*} $各回でAが勝つ、負ける、あいことなる確率はともに \cfrac{1}{3} \ であるから$
$Aが3勝する確率は$

$\hspace{3em} \cfrac{1}{4 \times 3^n}(n-1)(n-2)(n^2-5n+8)$

$Bが3勝する確率も同じだから、勝負がつく確率p(n)は$

$\hspace{3em} p(n)=\cfrac{1}{2 \times 3^n}(n-1)(n-2)(n^2-5n+8)$

したがって、確率分布は



$\hspace{3em}$

$\hspace{3em}期待値は$
\begin{eqnarray*} E&=&\sum _{n=1}^\infty n \times \cfrac{1}{2 \times 3^n}(n-1)(n-2)(n^2-5n+8) \hspace{18em}\\ &=&\cfrac{1}{2} \sum _{n=1}^\infty \cfrac{n^5}{3^n}-4 \sum _{n=1}^\infty \cfrac{n^4}{3^n}+\cfrac{25}{2} \sum _{n=1}^\infty \cfrac{n^3}{3^n}- 17\sum _{n=1}^\infty \cfrac{n^2}{3^n}+8 \sum _{n=1}^\infty \cfrac{n}{3^n}\\ &=&\cfrac{1}{2} \times \cfrac{273}{4}-4 \times 15+\cfrac{25}{2} \times \cfrac{33}{8}-17 \times \cfrac{3}{2}+8 \times \cfrac{3}{4}\\ &=&\cfrac{99}{8}\\ \end{eqnarray*}


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3。先に4回勝った方を勝者とする場合


$2人をA、Bとし、Aの各回での勝ちを$○、$負けを×、あいこを△で表す。$
$Aがn回目に勝つのは、n-1回目までが次の場合である。$

(i)$\ Aが3勝、Bが0勝の場合$

$\qquad n-1回までに、3回勝ち、残りはすべてあいこだから$

$\hspace{3em}$○○○△△……△|○

  これは、○が3個、△がn-4個の同じものを含む順列だから

$\hspace{3em} \cfrac{(n-1)!}{3!(n-4)!}=\cfrac{1}{6}(n-1)(n-2)(n-3)$ 通り

(ii)$\ Aが3勝、Bが1勝の場合$

$\qquad n-1回までに、3回勝ち、1回負け、残りはすべてあいこだから$

$\hspace{3em}$○○○×△△……△|○

  これは、○が3個、×が1個、△がn-5個の同じものを含む順列だから

$\hspace{3em} \cfrac{(n-1)!}{3!(n-5)!}=\cfrac{1}{6}(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$ 通り

(iii)$\ Aが3勝、Bが2勝の場合$

$\qquad n-1回までに、3回勝ち、2回負け、残りはすべてあいこだから$

$\hspace{3em}$○○○××△△……△|○

  これは、○が3個、×が2個、△がn-6個の同じものを含む順列だから

$\hspace{3em} \cfrac{(n-1)!}{3!2!(n-6)!}=\cfrac{1}{12}(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$ 通り

(iv)$\ Aが3勝、Bが3勝の場合$

$\qquad n-1回までに、3回勝ち、3回負け、残りはすべてあいこだから$

$\hspace{3em}$○○○×××△△……△|○

  これは、○が3個、×が3個、△がn-6個の同じものを含む順列だから

$\hspace{3em} \cfrac{(n-1)!}{3!3!(n-7)!}=\cfrac{1}{36}(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)$ 通り


(i)~(iv)$\ は互いに排反だから、Aが3勝する場合の数は$

$\hspace{3em}\cfrac{1}{6}(n-1)(n-2)(n-3)+\cfrac{1}{6}(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$
$\hspace{6em}+\cfrac{1}{12}(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)+\cfrac{1}{36}(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)$
\begin{eqnarray*} &=&\cfrac{1}{36}(n-1)(n-2)(n-3)\big\{6+6(n-4)+3(n-4)(n-5)+(n-4)(n-5)(n-6)\big\}\hspace{15em}\\ &=&\cfrac{1}{36}(n-1)(n-2)(n-3)(n^3-12n^2+53n-78)\\ \end{eqnarray*}
$各回でAが勝つ、負ける、あいことなる確率はともに \ \cfrac{1}{3} \ であるから$
$Aが3勝する確率は \cfrac{1}{36 \times 3^n}(n-1)(n-2)(n-3)(n^3-12n^2+53n-78)$

$Bが3勝する確率も同じだから、勝負がつく確率p(n)は$

$\hspace{2em} p(n)=\cfrac{1}{18 \times 3^n}(n-1)(n-2)(n-3)(n^3-12n^2+53n-78)$

したがって、確率分布は



$\hspace{3em}$

 期待値を解析的に求めるのは可能であるが、くたびれたので確率分布表から
求めると

$\hspace{2em} E=8.71$



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