逆行列
2 余因子行列
$n\ 次の行列式 \ |A|\ において、第 \ i\ 行第 \ j\ 列を除いた \ (n-1)\ 次の行列式を \ a_{ij}\ の小行列式といいます。$
$余因子については($行列式4 展開$)を参考にしてください。$
$正方行列 \ A\ の各要素 \ a_{ij}\ をその余因子 \ A_{ij}\ に置換えて得られる行列の転置行列を \ A\ の余因子行列といい、$
$A^* \ と表します。すなわち$
\[A^*= \left( \begin{array}{rrr} A_{11} & \cdots & A_{n1} \ \ \\ & \vdots & \ \ \\ A_{1n} & \cdots & A_{nn}\ \ \\ \end{array} \right) \]
$例1$
\[ A= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1\\ 2 & 5 & 1\\ 3 & 4 & 4\\ \end{array} \right) の余因子行列を求めてみましょう。 \]
\[ A_{11}=(-1)^2 \left| \begin{array}{rrr} 5 & 1\\ 4 & 4\\ \end{array} \right| =16 \hspace{4em} A_{12}=(-1)^3 \left| \begin{array}{rrr} 2 & 1\\ 3 & 4\\ \end{array} \right| =-5 \hspace{4em} A_{13}=(-1)^4 \left| \begin{array}{rrr} 2 & 5\\ 3 & 4\\ \end{array} \right| =-7 \] \[ A_{21}=(-1)^3 \left| \begin{array}{rrr} 2 & 1\\ 4 & 4\\ \end{array} \right| =-4 \hspace{4em} A_{22}=(-1)^4 \left| \begin{array}{rrr} 1 & 1\\ 3 & 4\\ \end{array} \right| =1 \hspace{4em} A_{23}=(-1)^5 \left| \begin{array}{rrr} 1 & 2\\ 3 & 4\\ \end{array} \right| =2 \] \[ A_{31}=(-1)^4 \left| \begin{array}{rrr} 2 & 1\\ 5 & 1\\ \end{array} \right| =-3 \hspace{4em} A_{32}=(-1)^5 \left| \begin{array}{rrr} 1 & 1\\ 2 & 1\\ \end{array} \right| =1 \hspace{4em} A_{33}=(-1)^6 \left| \begin{array}{rrr} 1 & 2\\ 2 & 5\\ \end{array} \right| =1 \]
\[したがって 余因子行列は \qquad A^*= \left( \begin{array}{rrr} A_{11} & A_{21} & A_{31}\\ A_{12} & A_{22} & A_{32}\\ A_{13} & A_{23} & A_{33}\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 16 & -4 & -3\\ -5 & 1 & 1\\ -7 & 2 & 1\\ \end{array} \right) \]
$A^* \ には次のような性質があります。$
$定理$
$\hspace{4em} |A| \ne 0\ \ のとき \quad AA^*=A^*A=|A|I_n \qquad (I_n \ は \ n\ 次の単位行列)$
$\qquad $行列式4 展開$定理より$
\[\sum _{k=1}^n a_{ik}A_{jk}=a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+ \cdots +a_{in}A_{jn}= \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} |A| \hspace{5em}(i=j)\\ 0 \hspace{6em}(i \ne j)\\ \end{array} \right. \] $よって$
\begin{eqnarray*} AA^* &=& \left( \begin{array}{rrr} a_{11} & \cdots & a_{1n} \ \ \\ & \vdots & \ \ \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\ \ \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} A_{11} & \cdots & A_{n1} \ \ \\ & \vdots & \ \ \\ A_{1n} & \cdots & A_{nn}\ \ \\ \end{array} \right)\\ \\ &=& \left( \begin{array}{rrr} \sum _{k=1}^n a_{1k}A_{1k} & \cdots & \sum _{k=1}^n a_{1k}A_{nk}\ \ \\ & \vdots & \ \ \\ \sum _{k=1}^n a_{nk}A_{1k} & \cdots & \sum _{k=1}^n a_{nk}A_{nk}\ \ \\ \end{array} \right)\\ \\ &=& \left( \begin{array}{rrr} |A| & \cdots & 0 \ \ \\ & \vdots & \ \ \\ 0 & \cdots & |A|\ \ \\ \end{array} \right)\\ \\ &=&|A|I_n\\ \end{eqnarray*}
$同様にして列の展開を行えば \ \ A^*A=|A|I_n \ \ が得られます。$
$これより \quad A(\cfrac{1}{|A|}A^*)=(\cfrac{1}{|A|}A^*)A=I_n \quad だから$
$\quad 逆行列 \hspace{2em} A^{-1}=\cfrac{1}{|A|}A^*$
\[例1の \quad A= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1\\ 2 & 5 & 1\\ 3 & 4 & 4\\ \end{array} \right) \quad について \quad |A|=20+6+8-15-16-4=-1 \]
\[ A^*= \left( \begin{array}{rrr} 16 & -4 & -3\\ -5 & 1 & 1\\ -7 & 2 & 1\\ \end{array} \right) \quad だから \quad A^{-1}= - \left( \begin{array}{rrr} 16 & -4 & -3\\ -5 & 1 & 1\\ -7 & 2 & 1\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} -16 & 4 & 3\\ 5 & -1 & -1\\ 7 & -2 & -1\\ \end{array} \right)\\ \]
$例2 \quad 4\ 次の正方行列の逆行列を求めてみましょう。$
\[ A= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 & -2\\ -2 & -2 & 1 & 3\\ 1 & 2 & -1 & -2\\ 0 & -3 & 1 & 3\\ \end{array} \right) \quad について \\ \] $\quad 余因子 \ A_{ij}\ は$
\[ A_{11}=(-1)^2 \left| \begin{array}{rrr} -2 & 1 & 3\\ 2 & -1 & -2\\ -3 & 1 & 3\\ \end{array} \right| =-1 \hspace{2em} A_{12}=(-1)^3 \left| \begin{array}{rrr} -2 & 1 & 3\\ 1 & -1 & -2\\ 0 & 1 & 3\\ \end{array} \right| =-2 \hspace{2em} A_{13}=(-1)^4 \left| \begin{array}{rrr} -2 & -2 & 3\\ 1 & 2 & -2\\ 0 & -3 & 3\\ \end{array} \right| =-3\\ \\ \] \[ A_{14}=(-1)^5 \left| \begin{array}{rrr} -2 & -2 & 1\\ 1 & 2 & -1\\ 0 & -3 & 1\\ \end{array} \right| =-1 \hspace{2em} A_{21}=(-1)^3 \left| \begin{array}{rrr} 1 & 0 & -2\\ 2 & -1 & -2\\ -3 & 1 & 3\\ \end{array} \right| =-1 \hspace{2em} A_{22}=(-1)^4 \left| \begin{array}{rrr} \hspace{1em}1 & 0 & -2\\ 1 & -1 & -2\\ 0 & 1 & 3\\ \end{array} \right| =-3\\ \\ \] \[ A_{23}=(-1)^5 \left| \begin{array}{rrr} \hspace{1em} 1 & 1 & -2\\ 1 & 2 & -2\\ 0 & -3 & 3\\ \end{array} \right| =-3 \hspace{2em} A_{24}=(-1)^6 \left| \begin{array}{rrr} \hspace{1em} 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & -1\\ 0 & -3 & 1\\ \end{array} \right| =-2 \hspace{2em} A_{31}=(-1)^4 \left| \begin{array}{rrr} 1 & \hspace{1em} 0 & -2\\ -2 & 1 & 3\\ -3 & 1 & 3\\ \end{array} \right| =-2\\ \\ \] \[ A_{32}=(-1)^5 \left| \begin{array}{rrr} 1 & \hspace{1em} 0 & -2\\ -2 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 3\\ \end{array} \right| =-4 \hspace{2em} A_{33}=(-1)^6 \left| \begin{array}{rrr} 1 & 1 & -2\\ -2 & -2 & 3\\ 0 & -3 & 3\\ \end{array} \right| =-3 \hspace{2em} A_{34}=(-1)^7 \left| \begin{array}{rrr} 1 & 1 & \hspace{1em}0\\ -2 & -2 & 1\\ 0 & -3 & 1\\ \end{array} \right| =-3\\ \\ \] \[ A_{41}=(-1)^5 \left| \begin{array}{rrr} 1 & 0 & -2\\ -2 & 1 & 3\\ 2 & -1 & -2\\ \end{array} \right| =-1 \hspace{2em} A_{42}=(-1)^6 \left| \begin{array}{rrr} 1 & 0 & -2\\ -2 & 1 & 3\\ 1 & -1 & -2\\ \end{array} \right| =-1 \hspace{2em} A_{43}=(-1)^7 \left| \begin{array}{rrr} 1 & 1 & -2\\ -2 & -2 & 3\\ 1 & 2 & -2\\ \end{array} \right| =-1\\ \\ \] \[ A_{44}=(-1)^8 \left| \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0\\ -2 & -2 & 1\\ 1 & 2 & -1\\ \end{array} \right| =-1\\ \]
\[よって余因子行列は \hspace{2em} A^* = \left( \begin{array}{rrr} -1 & -1 & -2 & -1\\ -2 & -3 & -4 & -1\\ -3 & -3 & -3 & -1\\ -1 & -2 & -3 & -1\\ \end{array} \right)\\ \\ \]
$A\ の行列式の値は$
\begin{eqnarray*} |A| &=& \left| \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 & -2\\ -2 & -2 & 1 & 3\\ 1 & 2 & -1 & -2\\ 0 & -3 & 1 & 3\\ \end{array} \right|\\ \\ & & \quad 第1列 \times (-1) + 第2列\\ & & \quad 第1列 \times 2 + 第4列\\ \\ &=& \left| \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 & 0 \ \ \\ -2 & 0 & 1 & -1 \ \ \\ 1 & 1 & -1 & 0 \ \ \\ 0 & -3 & 1 & 3 \ \ \\ \end{array} \right|\\ \\ & & \quad 第1行で展開\\ \\ &=& \left| \begin{array}{rrr} 0 & 1 & -1 \ \ \\ 1 & -1 & 0 \ \ \\ -3 & 1 & 3 \ \ \\ \end{array} \right|\\ \\ & & \quad サラスの展開\\ \\ &=&-1 \end{eqnarray*} \[したがって 逆行列は \hspace{2em} A^{-1}=-A^* = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 4 & 1\\ 3 & 3 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 1\\ \end{array} \right)\\ \\ \]
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