行列式
4 展開
$n\ 次の行列式 \ |A|\ において、第 \ i\ 行第 \ j\ 列を除いた \ (n-1)\ 次の行列式を \ a_{ij}\ の小行列式といい、M_{ij}とおきます。$
$このとき、次の重要な定理が成りたちます。$
$定理 \quad 第 \ i\ 行による展開$
\[|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+ \cdots + a_{in}A_{in}=\sum _{k=1}^n a_{ik}A_{ik}\]
$なお、$
\[|A|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+ \cdots + a_{nj}A_{nj}=\sum _{k=1}^n a_{kj}A_{kj}\] $を 第 \ j\ 列による展開といいます。$
$(証明)$
$行列 \ A\ の第 \ i\ 行目と第 \ j\ 列目の各要素を \ a_{ij}\ のみ残し、他の要素は \ 0\ と置き換えた行列式を \ \Delta _{ij}\ とすると$
\[ \Delta _{ij}= \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & \cdots & 0 & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & & & & \vdots \ \ \\ 0 & \cdots & a_{ij} & \cdots & 0 \ \ \\ \vdots & & & & \vdots \ \ \\ a_{n1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{nn}\ \ \\ \end{array} \right| \]
$\Delta _{ij}\ の第 \ i\ 行を\ (i-1)\ 回の行の入替えをおこなって第 \ 1\ 行に、さらに第 \ j\ 列を\ (j-1)\ 回の列の$
$入替えをおこなって第 \ 1\ 列に、移動させる。$
$\qquad これについては($性質(1)$)の「(3)\ \ 行の入替え」をご覧ください。$
\[ \Delta _{ij} \times (-1)^{i-1} \times (-1)^{j-1} = \left| \begin{array}{rrr} a_{ij} & 0 & \cdots & 0 \ \ \\ 0 & a_{11} & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & \vdots & & \vdots \ \ \\ 0 & a_{n1} & \cdots & a_{nn}\ \ \\ \end{array} \right| = a_{ij} \left| \begin{array}{rrr} 1 & 0 & \cdots & 0 \ \ \\ 0 & a_{11} & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & \vdots & & \vdots \ \ \\ 0 & a_{n1} & \cdots & a_{nn}\ \ \\ \end{array} \right| \]
$a_{ij}\ をくくりだして得られた行列式を \ |B|\ とおいて$
\[ |B|= \left| \begin{array}{rrr} 1 & 0 & \cdots & 0 \ \ \\ 0 & a_{11} & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & \vdots & & \vdots \ \ \\ 0 & a_{n1} & \cdots & a_{nn}\ \ \\ \end{array} \right| = \left| \begin{array}{rrr} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \ \ \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \ \ \\ \vdots & \vdots & & \vdots \ \ \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \ \ \\ \end{array} \right| \quad として \]
$定義に基づいてこの \ |B|\ の値を求めます。$
\[ \sigma= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & \cdots & n\\ p_1 & p_2 & \cdots & p_n\\ \end{array} \right) \quad において \]
$\ \ p_1 \ne 1 \quad ならば \quad b_{1p_1}=0 \quad だから \quad b_{1p_1}b_{2p_2} \cdots b_{np_n}=0 $
$対偶をとって \quad b_{1p_1}b_{2p_2} \cdots b_{np_n} \ne 0 \quad となるのは \ \ p_1=1 \ の置換のみである。$
$すると$
\[ \sigma= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & \cdots & n\\ p_1 & p_2 & \cdots & p_n\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & \cdots & n\\ 1 & p_2 & \cdots & p_n\\ \end{array} \right) \ \ は \ \ \sigma '= \left( \begin{array}{rrr} 2 & \cdots & n\\ p_2 & \cdots & p_n\\ \end{array} \right) \quad に等しいから \]
$\qquad b_{1p_1}=b_{11}=1 \quad に注意して$
\begin{eqnarray*} |B| &=&\sum _{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) b_{1p_1} b_{2p_2} \cdots b_{np_n}\\ \\ &=&b_{1p_1}\sum _{\sigma ' \in S_{n-1}} \varepsilon(\sigma ') b_{2p_2} b_{3p_3} \cdots b_{np_n}\\ \\ &=&\sum _{\sigma ' \in S_{n-1}} \varepsilon(\sigma ') b_{2p_2} b_{3p_3} \cdots b_{np_n}\\ \end{eqnarray*}
$これは、行列式 \ |B|\ の第 \ 1\ 行第 \ 1\ 列を除いた小行列式の値だから、M_{ij}\ に一致します。$
$|B|=M_{ij} \quad より \quad \Delta _{ij} \times (-1)^{i-1} \times (-1)^{j-1}＝a_{ij}M_{ij} $
$\therefore \ \ (-1)^{i+j} \Delta _{ij} ＝a_{ij}M_{ij}$
$両辺に \quad (-1)^{i+j} \quad をかけて$
$\quad \Delta _{ij} ＝(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}=a_{ij}A_{ij}$
$したがって$
\begin{eqnarray*} |A| &=& \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\ \ \\ \end{array} \right|\\ \\ &=& \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{i1} & 0 & \cdots & 0 \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\ \ \\ \end{array} \right| + \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ 0 & a_{i2} & \cdots & 0 \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\ \ \\ \end{array} \right| + \cdots + \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ 0 & 0 & \cdots & a_{in} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\ \ \\ \end{array} \right|\\ \\ &=&\Delta _{i1}+\Delta _{i2} + \cdots \Delta _{in}\\ \\ &=&a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+ \cdots + a_{in}A_{in}\\ \end{eqnarray*}
$なお、列による展開も全く同様に証明できます。$
$この定理により、n\ 次の行列式の値は、(n-1)\ 次の行列式の値を求めればよいことになりますので、$
$これを繰り返して最終的には \ 2\ 次の行列式の値を求めることに帰着します。$
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