行列式
2 性質(1)
$(1)\ \ 加法$
\[ \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{i1}+a'_{i1} & & \cdots & a_{in}+a'_{in}\ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{n1} & & \cdots & a_{nn} \ \ \\ \end{array} \right| = \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{i1} & & \cdots & a_{in} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{n1} & & \cdots & a_{nn} \ \ \\ \end{array} \right| + \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a'_{i1} & & \cdots & a'_{in} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{n1} & & \cdots & a_{nn} \ \ \\ \end{array} \right| \]
$\quad (証明)$
\begin{eqnarray*} 左辺 &=&\sum _{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) a_{1\sigma(1)} \cdots (a_{i\sigma(i)}+ a'_{i\sigma(i)}) \cdots a_{n\sigma(n)} \\ \\ &=&\sum _{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) a_{1\sigma(1)} \cdots a_{i\sigma(i)} \cdots a_{n\sigma(n)} +\sum _{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) a_{1\sigma(1)} \cdots a'_{i\sigma(i)} \cdots a_{n\sigma(n)} \\ \\ &=&右辺 \end{eqnarray*}
$(2)\ \ 定数倍$
\[ \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ ka_{i1} & & \cdots & ka_{in} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{n1} & & \cdots & a_{nn} \ \ \\ \end{array} \right| = k \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{i1} & & \cdots & a_{in} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{n1} & & \cdots & a_{nn} \ \ \\ \end{array} \right| \]
$\quad (証明)$
\begin{eqnarray*} 左辺 &=&\sum _{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) a_{1\sigma(1)} \cdots (ka_{i\sigma(i)}) \cdots a_{n\sigma(n)} \\ \\ &=&k\sum _{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) a_{1\sigma(1)} \cdots a_{i\sigma(i)} \cdots a_{n\sigma(n)}\\ \\ &=&右辺 \end{eqnarray*}
$(3)\ \ 行の入替え$
\[ \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{j1} & & \cdots & a_{jn} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{i1} & & \cdots & a_{in} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{n1} & & \cdots & a_{nn} \ \ \\ \end{array} \right| = - \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{i1} & & \cdots & a_{in} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{j1} & & \cdots & a_{jn} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{n1} & & \cdots & a_{nn} \ \ \\ \end{array} \right| \]
$\quad (証明)$
\[ \sigma= \left( \begin{array}{rrr} 1 & \cdots & i & \cdots & j & \cdots & n\\ p_1 & \cdots & p_j & \cdots & p_i & \cdots & p_n\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 1 & \cdots & i & \cdots & j & \cdots & n\\ p_1 & \cdots & p_i & \cdots & p_j & \cdots & p_n\\ \end{array} \right) (p_i \ p_j) = \sigma '(p_i \ p_j) \]
$\quad だから \ i\ 行と \ j\ 行を入替えると互換が \ 1\ つ増えるので \ \sigma \ と \ \sigma ' \ の符号が変わる。$
\begin{eqnarray*} 左辺 &=&\sum _{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) a_{1\sigma(1)} \cdots a_{i\sigma(j)} \cdots a_{j\sigma(i)} \cdots a_{n\sigma(n)} \\ \\ &=&-\sum _{\sigma ' \in S_n} \varepsilon(\sigma ') a_{1\sigma '(1)} \cdots a_{i\sigma '(i)} \cdots a_{j\sigma '(j)} \cdots a_{n\sigma '(n)} \\ \\ &=&右辺 \end{eqnarray*}
$(4)\ \ 2つの行の一致$
$\quad (証明)$
$\quad 一致する \ 2\ つの行を入替えても行列式の値は変わらないから$
$\quad (3)より \quad -|A|=|A| \qquad \therefore \ \ |A|=0$
$(5)\ \ ある行のk倍を他の行に加える$
$\quad (証明)$
$\quad (1),(2)より$
\[ \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{i1}+ka_{j1} & & \cdots & a_{in}+ka_{jn}\ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{j1} & & \cdots & a_{jn} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{n1} & & \cdots & a_{nn} \ \ \\ \end{array} \right| = \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{i1} & & \cdots & a_{in}\ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{j1} & & \cdots & a_{jn} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{n1} & & \cdots & a_{nn} \ \ \\ \end{array} \right| +k \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{j1} & & \cdots & a_{jn}\ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{j1} & & \cdots & a_{jn} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{n1} & & \cdots & a_{nn} \ \ \\ \end{array} \right| \]
$\quad 右辺第 \ 2\ 項は(4)より\ 0\ だからこの操作で行列式の値は変わらない。$
$(6)\ \ 行と列の入替え$
$\quad (証明)$
\[ \sigma= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & \cdots & n\\ p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \end{array} \right) \quad の逆置換 \quad \sigma ^{-1}= \left( \begin{array}{rrr} p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ 1 & 2 & \cdots & n\\ \end{array} \right) \in S_n \quad で \quad \varepsilon(\sigma ^{-1})=\varepsilon(\sigma)\\ \] $\qquad これについては($偶置換と奇置換$)をご覧ください。$
$\qquad A=(a_{ij})\ の転置行列 \ \ ^tA\ の \ (ij)\ 成分は \ \ a_{ji}\ \ だから$
\begin{eqnarray*} |^tA| &=&\sum _{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma ) a_{p_11}a_{p_22} \cdots a_{p_nn}\\ \\ &=&\sum _{\sigma ^{-1}\in S_n} \varepsilon(\sigma ^{-1})a_{p_11}a_{p_22} \cdots a_{p_nn}\\ \\ &=&|A| \end{eqnarray*}
$\quad 最後の等号は、列による展開をおこなった行列式の定義です。$
$\quad したがって、行と列を入替えても行列式の値は変わらない。$
行列式メニュー に戻る
メインメニュー に戻る