置換群
6 偶置換と奇置換
$(1)\ \ 偶置換と奇置換$
$一般に、置換は巡回置換の積で表され、巡回置換は互換の積で表されるから、置換は互換の積で表されます。$
$すると、互換の個数が問題になってきます。$
$互換が偶数個である置換を偶置換、奇数個である置換を奇置換といいます。$
$ただし、単位置換は偶置換とします。$
$例1\ \ 次の置換は偶置換か奇置換か判定しましょう。$
\[ \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 5 & 7 & 2 & 4 & 1\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 1 & 3 & 8 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 2 & 6 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 4 & 5 & 7 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 1 & 3 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 1 & 8 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 2 & 6 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 4 & 5 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 4 & 7 \\ \end{array} \right) \]
$\qquad 互換が5個だから奇置換となります。$
$一般に、異なるn個の文字の置換全体は群となりますが、これをn次の対称群といいS_nと表します。$
$また、S_nのうち、偶置換全体も群となりますが、これをn次の交代群といい、A_nと表します。$
$3文字a,b,cの置換は全部で3!=6\ 通りあり、それらは正三角形の対称変換に現れた置換でした。$
\[ e= \left( \begin{array}{rrr} a & b & c\\ a & b & c\\ \end{array} \right) \qquad \omega= \left( \begin{array}{rrr} a & b & c\\ b & c & a\\ \end{array} \right) \qquad \omega ^2= \left( \begin{array}{rrr} a & b & c\\ c & a & b\\ \end{array} \right)\\ \] \[ p= \left( \begin{array}{rrr} a & b & c\\ a & c & b\\ \end{array} \right) \qquad q= \left( \begin{array}{rrr} a & b & c\\ c & b & a\\ \end{array} \right) \qquad r= \left( \begin{array}{rrr} a & b & c\\ b & a & c\\ \end{array} \right) \]
$S_3=\{e,\ \omega,\ \omega ^2,\ p,\ q,\ r\}\ \ となります。$
\[ \omega = \left( \begin{array}{rrr} a & b & c\\ \end{array} \right) \quad \omega ^2= \left( \begin{array}{rrr} a & c & b\\ \end{array} \right) \quad p= \left( \begin{array}{rr} b & c\\ \end{array} \right) \quad q= \left( \begin{array}{rr} a & c\\ \end{array} \right) \quad r= \left( \begin{array}{rr} a & b\\ \end{array} \right) \] $だから\quad e,\ \ \omega,\ \ \omega^2 \ \ が偶置換で、p,\ \ q,\ \ r \ \ が奇置換です。$
$したがって、A_3=\{e,\ \ \omega,\ \ \omega^2\}\ \ で明らかに巡回群となります。$
$定理$
$\quad 異なるn文字の置換は \ n!\ 個あるが、そのうち偶置換も奇置換も \ \cfrac{n!}{2}\ 個ずつある。$
$(証明)$
$偶置換を\ a_1,\ a_2,\ \cdots \ a_p \ \ の \ p\ 個、奇置換を\ b_1,\ b_2,\ \cdots \ b_q \ \ の \ q\ 個とする。$
(i)$\ \ すべての偶置換にある互換 \ r\ をおこなう$
$\qquad a_1r,\ a_2r,\ \cdots \ a_pr \ \ は奇置換となるが、これらはすべて異なるものである。$
$\quad なぜならば$
$\qquad a_kr=a_lr \ \ としてさらに互換 \ r\ をおこなうと$
$\qquad a_kr^2=a_lr^2 \qquad r^2=e \ \ だから \qquad a_k=a_l $
$\qquad a_kr=a_lr \ \ \longrightarrow \quad a_k=a_l \quad 対偶をとって \quad a_k \ne a_l \quad \longrightarrow \quad a_kr \ne a_lr $
$したがって \qquad p \leqq q$
(ii)$\ \ すべての奇置換に互換 \ r\ をおこなう$
$同様にして \qquad q \leqq p$
(i)(ii)$より p=q$
$(2)\ \ 置換の符号$
\[置換 \ \ \sigma= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & \cdots & n \\ p_1 & p_2 & \cdots & p_n\\ \end{array} \right) \qquad の符号を \ \ \varepsilon(\sigma)= \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 1 \hspace{6em}(\sigma が偶置換)\\ -1 \hspace{5em}(\sigma が奇置換)\\ \end{array} \right. \hspace{3em}と定めます。 \]
$\quad したがって \ \ \sigma \ を \ k\ 個の互換の積であらわしたとき \ \ \varepsilon(\sigma)=(-1)^k \ \ となります。$
$置換 \ \sigma \ の符号について次の性質が成りたちます。$
(i)$\ \ 2つの置換 \ \ \sigma ,\ \ \omega \ \ がそれぞれ \ k\ 個、l\ 個の互換の積で表されるとき$
$\quad 積 \ \ \sigma \omega \ は \ k+l\ 個の互換の積で表されるから$
$\qquad (-1)^{k+l}=(-1)^k(-1)^l \quad より \quad \varepsilon(\sigma \omega)=\varepsilon(\sigma) \cdot \varepsilon(\omega)$
(ii)$\ \ $ $置換 \ \ \sigma \ に対して$
$\qquad \varepsilon(\sigma) \varepsilon(\sigma ^{-1})=\varepsilon(\sigma \sigma ^{-1})=\varepsilon(e)=1$
$\qquad \therefore \quad \varepsilon(\sigma )=1,\quad \varepsilon(\sigma ^{-1})=1,\quad あるいは \quad \varepsilon(\sigma )=-1,\quad \varepsilon(\sigma ^{-1})=-1$
$\qquad したがって \quad \varepsilon(\sigma ^{-1})=\varepsilon(\sigma)$
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