MY MATH NOTE

内心

　
$点 \ P\ から線分 \ OA,\ OB\ へ下ろした垂線の足を \ Q,\ R\ とする。$
$直角三角形 \ OPQ \ と \ OPR\ において$

$\Longrightarrow の証明$

$斜辺は共通、\angle POQ=\angle POR \quad だから \quad \triangle OPQ \equiv \triangle OPR$
$よって \quad PQ=PR$

$\Longleftarrow の証明$

$斜辺は共通、PQ=PR \quad だから \quad \triangle OPQ \equiv \triangle OPR$
$よって \quad \angle POQ=\angle POR \quad だから \quad 点 \ P\ は \ l\ 上の点である。$

$\quad 定理 \quad 三角形の \ 3\ つの内角の二等分線は \ 1\ 点で交わる。$

　
$この点を三角形の$ 内心 $という。$


$証明$

$\triangle ABC \ \ において、\angle A,\angle B\ の二等分線の交点を \ I\ とし、点 \ I\ から$
$辺 \ BC,\ CA,\ AB\ に下ろした垂線の足を、それぞれ\ D,\ E,\ F\ とする。$

　
$上の補助定理をつかって$
$\quad 点 \ I\ は、\angle A \ の二等分線上の点だから \quad IE=IF $
$\quad 点 \ I\ は、\angle B \ の二等分線上の点だから \quad ID=IF$

$よって、ID=IE \quad だから補助定理の逆より、点 \ I\ は \ \angle C \ の$
$二等分線上にある。$

$したがって、三角形の \ 3\ つの内角の二等分線は \ 1\ 点で交わる。$

　 $また、証明からわかるように \quad ID=IE=IF \quad だから点 \ I\ を中心、$
$半径 \ ID\ の円をかけば、この円は点 \ D,\ E,\ F\ で各辺に接する。$
$\quad (このことについては$円の接線$をご覧ください。)$

$すなわち、この円は \ \triangle ABC \ の内接円となるから、その中心を$
$内心というわけである。$

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