正項級数



$各項が正である無限級数を正項級数という。$

$定理 \ 1$
\[正項級数 \ \ \sum _{n=1}^{\infty} a_n \ \ が収束するための必要十分条件は部分和 \ \ S_n=\sum _{i=1}^n a_n \ \ が有界であることである。\]


$(証明)$

$a_n > 0 \quad だから \quad S_n > 0\ \ で \ \ 　S_n < S_{n+1}$

$(必要条件)$
\[\{S_n\} が収束するならば \quad \lim _{n \rightarrow \infty} S_n=S \ \ となる極限値 \ S\ が存在する。\] $0< S_n < S \quad だから \quad S_n \ は有界である。$

$(十分条件)$

$S_n \ が有界ならば、S_n \ は単調増加数列だから収束する。$


$定理 \ 2$
\[2\ つの正項級数 \ \ \sum _{n=1}^{\infty} a_n \ \ と \ \ \sum _{n=1}^{\infty} b_n \ \ において、すべての \ n\ について\] \[(1)\ \ a_n \leqq b_n \ \ で \quad \sum _{n=1}^{\infty} b_n \ \ が収束すれば、\sum _{n=1}^{\infty} a_n \ \ も収束する。\] \[(2)\ \ a_n \geqq b_n \ \ で \quad \sum _{n=1}^{\infty} b_n \ \ が発散すれば、\sum _{n=1}^{\infty} a_n \ \ も発散する。\]


$(証明)$

\[A_n= \sum _{n=1}^{\infty} a_n , \quad B_n=\sum _{n=1}^{\infty} b_n \quad とおくと\]
$(1)について$

$A_n > 0,\ \ B_n > 0 , \ \ すべての \ n\ について \quad a_n \leqq b_n \quad だから \quad A_n \leqq B_n $

$B_n \ は収束するから和を \ B\ とおくと \ \ B_n < B$

$よって \quad A_n < B \ \ となり \ \{A_n\}\ は上に有界だから　定理 \ 1\ より収束する。$


$(2)について$

$すべての \ n\ について \quad a_n \geqq b_n > 0 \quad だから \quad A_n \geqq B_n > 0$

$B_n \ \ が発散するならば \ \ +\infty \ \ だから \quad A_n \ も \ +\infty \ に発散する。$


$定理 \ 3$
\[2\ つの正項級数 \ \ \sum _{n=1}^{\infty} a_n \ \ と \ \ \sum _{n=1}^{\infty} b_n \ \ において、自然数 \ N\ があって \ \ n > N \ \ のすべての \ n\ について\] \[(1)\ \ \cfrac{a_{n+1}}{a_n} \leqq \cfrac{b_{n+1}}{b_n} \ \ で \quad \sum _{n=1}^{\infty} b_n \ \ が収束すれば、\sum _{n=1}^{\infty} a_n \ \ も収束する。\] \[(2)\ \ \cfrac{a_{n+1}}{a_n} \geqq \cfrac{b_{n+1}}{b_n} \ \ で \quad \sum _{n=1}^{\infty} b_n \ \ が発散すれば、\sum _{n=1}^{\infty} a_n \ \ も発散する。\]


$(証明)$

$(1)について$

\begin{eqnarray*} a_n &=&\cfrac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\times \cfrac{a_{N+3}}{a_{N+2}}\times \cdots \times \cfrac{a_n}{a_{n-1}}\times a_{N+1}\\ \\ &\leqq&\cfrac{b_{N+2}}{b_{N+1}}\times \cfrac{b_{N+3}}{b_{N+2}}\times \cdots \times \cfrac{b_n}{b_{n-1}}\times a_{N+1}\\ \\ &=&\cfrac{a_{N+1}}{b_{N+1}}\times b_n\\ \end{eqnarray*} $\cfrac{a_{N+1}}{b_{N+1}}\ \ は \ n\ に無関係な正の数だからこれを \ M\ とおくと$
\[n > N \ \ のすべての \ n\ について \quad a_n \leqq Mb_n \quad だから 定理 \ 2より \quad \sum _{n=1}^{\infty} b_n \ \ が収束すれば、\sum _{n=1}^{\infty} a_n \ \ も収束する。\]
$(2)について$

\begin{eqnarray*} a_n &=&\cfrac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\times \cfrac{a_{N+3}}{a_{N+2}}\times \cdots \times \cfrac{a_n}{a_{n-1}}\times a_{N+1}\\ \\ &\geqq&\cfrac{b_{N+2}}{b_{N+1}}\times \cfrac{b_{N+3}}{b_{N+2}}\times \cdots \times \cfrac{b_n}{b_{n-1}}\times a_{N+1}\\ \\ &=&\cfrac{a_{N+1}}{b_{N+1}}\times b_n\\ \end{eqnarray*} \[n > N \ \ のすべての \ n\ について \quad a_n \geqq Mb_n \quad だから 定理 \ 2\ より \quad \sum _{n=1}^{\infty} b_n \ \ が発散すれば、\sum _{n=1}^{\infty} a_n \ \ も発散する。\]

$定理\ 4$
\[正項級数 \ \ \sum _{n=1}^{\infty} a_n \ \ において、自然数 \ N\ があって \ \ n > N \ のすべての \ n\ について\] \[(1)\ \ \cfrac{a_{n+1}}{a_n} \leqq r < 1 \ \ を満たす定数 \ r\ が存在すれば \quad \sum _{n=1}^{\infty} a_n \ \ は収束する。\] \[(2)\ \ \cfrac{a_{n+1}}{a_n} \geqq 1 \quad ならば \quad \sum _{n=1}^{\infty} a_n \ \ は発散する。\]

$(証明)$

$定理 \ 3\ で \quad b_n=r^n \ \ (等比数列)\ をとると $

$(1)について$

\[\cfrac{b_{n+1}}{b_n}=r \quad だから \quad r < 1 \ \ のときは \quad \sum _{n=1}^{\infty} b_n \ \ は収束する。\] \[したがって、定理 \ 3\ より \quad \sum _{n=1}^{\infty} a_n \ \ も収束する。\]
$(2)について$

\[\cfrac{a_{n+1}}{a_n} \geqq 1 \quad ならば、a_{n+1} \geqq a_n \ \ となって \quad \lim_{n \rightarrow \infty} a_n \ne 0 \] \[よって \quad \sum _{n=1}^{\infty} a_n \ \ は発散する。\]

$定理 \ 5 \quad \rho - test$
\[正項級数 \ \ \sum _{n=1}^{\infty} a_n \ \ において \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\rho \quad が存在するとき\] \[(1)\ \ \rho < 1 \quad ならば \quad \sum _{n=1}^{\infty} a_n \ \ は収束する。\] \[(2)\ \ \rho > 1 \quad ならば \quad \sum _{n=1}^{\infty} a_n \ \ は発散する。\]

$(証明)$

\[\lim_{n \rightarrow \infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\rho \ \ が存在するから \quad 0 < \varepsilon <|1-\rho| \ \ である \ \varepsilon \ に対して\] \[自然数 \ N\ があって \ \ n > N \ のすべての \ n\ について \quad \big|\cfrac{a_{n+1}}{a_n}-\rho \big| < \varepsilon \] $(1)について $

$\quad \rho < 1 \quad ならば \quad 0 < \varepsilon <1-\rho$
\[\cfrac{a_{n+1}}{a_n} < \rho +\varepsilon <1 \quad だから定理 \ 4\ より \quad \sum _{n=1}^{\infty} a_n \ \ は収束する。\] $(2)について$

$\quad \rho > 1 \quad ならば \quad 0 < \varepsilon <\rho-1$

\[\quad \cfrac{a_{n+1}}{a_n} > \rho - \varepsilon > 1 \quad だから定理 \ 4\ より \quad \sum _{n=1}^{\infty} a_n \ \ は発散する。\]

$例$

$級数 \quad 1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+\cfrac{1}{3!}+\cdots +\cfrac{1}{n!}+\cdots \quad について$

\[\quad \rho=\lim_{n \rightarrow \infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \rightarrow \infty} \cfrac{n!}{(n+1)!}=\lim_{n \rightarrow \infty} \cfrac{1}{n+1}=0\] $よって、この級数は収束する。$

$なお、極限値は自然対数の底 \ e\ である。$


　

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