茨城大学(数学) 2023年　問題1


$f(x)=x+2+ \cfrac{2}{x-1}\ \ (x \ne 1)\ \ とする。以下の各問に答えよ。$
$(1)\ \ 関数 \ y=f(x) \ の増減、極値、グラフとx軸との交点、グラフの凹凸、変曲点、漸近線を調べ、$
$\quad グラフの概形をかけ。$
$(2)\ \ k\ を実数の定数とする。方程式 \ f(x)=k\ の異なる実数解の個数を求めよ。$
$(3)\ \ 曲線 \ y=\log f(x) \ \ (x > 1) \ \ と直線 \ y=\log 6\ \ で囲まれた部分の面積 \ S\ を求めよ。$
$\quad ただし、対数は自然対数とする。$


(1)


$f(x)=x+2+ \cfrac{2}{x-1}$

$f'(x)=1-\cfrac{2}{(x-1)^2}=\cfrac{(x-1)^2-2}{(x-1)^2}$

$f''(x)=-2\big((x-1)^{-2}\big)~'=\cfrac{4}{(x-1)^3}$

$f'(x)=0 \quad より \quad x=1 \pm \sqrt{2}$

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & \cdots & 1-\sqrt{2}& \cdots & 1 & \cdots & 1+\sqrt{2} & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & / & - & 0 & + \\ \hline f''(x) & - & - & - & / & + & + & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 極大 & \searrow & / & \searrow & 極小 & \nearrow \\ & 上に凸 & 　 & 上に凸 & 　 & 下に凸 & 　　 & 下に凸 \\ \end{array} \]

　

$x=1-\sqrt{2}\ \ で極大となり、$

$極大値は \quad f(1-\sqrt{2})=3-\sqrt{2}+\cfrac{2}{-\sqrt{2}}=3-2\sqrt{2}$

$x=1+\sqrt{2}\ \ で極小となり、$

$極小値は \quad f(1+\sqrt{2})=3+\sqrt{2}+\cfrac{2}{\sqrt{2}}=3+2\sqrt{2}$

$x < 1\ \ で \ \ f''(x) < 0, \quad x > 1\ \ で \ \ f''(x) > 0 , $

$x=0\ \ で不連続だから変曲点はない。$

$x\ 軸との交点は \ \ y=0\ \ とおいて$

$x+2+\cfrac{2}{x-1}=0 \qquad (x+2)(x-1)+2=0 \qquad x^2+x=0$

$x(x+1)=0 \qquad \therefore \ \ x=0 ,\ \ -1 $

$x \longrightarrow 1+0 \ \ のとき \ \ y \longrightarrow +\infty ,\quad x \longrightarrow 1-0 \ \ のとき \ \ y \longrightarrow -\infty \ \ だから \ \ x=1\ \ は漸近線$

$y-(x+2)=\cfrac{2}{x-1}\ \ で \ \ x \longrightarrow \pm \infty \ \ のとき \ \ \cfrac{2}{x-1} \longrightarrow 0 \ \ だから \ \ y=x+2\ \ は漸近線$

$\hspace{3em} (漸近線については($漸近線$)を参考にしてください。)$

$これらを考慮してかいたグラフは右図のとおり$


(2)

　

$方程式 \ f(x)=k\ の実数解は$

$y=f(x)\ \ と \ \ y=k \ \ のグラフの交点の \ x\ 座標だから$

$その個数は、交点の個数を調べればよい。$

$右のグラフより$

(i)$\ \ k < 3-2\sqrt{2} \quad のとき \quad 2\ 個$

(ii)$\ \ k = 3-2\sqrt{2} \quad のとき \quad 1\ 個$

(iii)$\ \ 3-2\sqrt{2} < k < 3+2\sqrt{2} \quad のとき \quad 0\ 個$

(iv)$\ \ k = 3+2\sqrt{2} \quad のとき \quad 1\ 個$

(v)$\ \ k > 3+2\sqrt{2} \quad のとき \quad 2\ 個$


(3)

　

$x_1< x_2 \quad ならば \quad \log x_1 < \log x_2 \quad あるいは、$

$(\log f(x))'=\cfrac{f'(x)}{f(x)} \quad だから$

$y=f(x)\ のグラフの増減と \ y=\log f(x) \ のグラフの$

$増減は一致する。$

$3+2\sqrt{2} < 6 \quad だから \quad \log (3+2\sqrt{2}) < \log 6$

$すなわち \quad x\ 軸に平行な直線 \ \ y=\log 6 \ \ は \ \ y=\log f(x) \ \ の$

$極小値より上にある。$

$よって (2)より \quad y=\log 6 \ \ と \ \ y=\log f(x)\ \ は異なる \ 2\ 点で交わる。その交点は$

$\log(x+2+ \cfrac{2}{x-1})=\log 6 \qquad x+2+ \cfrac{2}{x-1}=6$

$(x+2)(x-1)+2=6(x-1) \qquad x^2-5x+6=0 \qquad (x-2)(x-3)=0 \qquad \therefore \ \ x=2,\ \ 3$

$y=\log f(x) \ \ (x > 1) \ \ と直線 \ y=\log 6\ \ で囲まれた部分の面積 \ S\ は$

\begin{eqnarray*} S &=&\int_2^3 \big\{\log 6 - \log \big (x+2+\cfrac{2}{x-1}\big ) \big\}dx\\ \\ &=&\int_2^3 \big (\log 6 - \log \cfrac{x^2+x}{x-1}\big ) dx\\ \\ &=&\int_2^3 \big (\log 6 - \log x -\log (x+1) + \log (x-1)\big ) dx \hspace{5em}(部分積分を行って)\\ \\ &=&\big[x\log 6 - (x\log x -x) -((x+1)\log (x+1)-(x+1)) +((x-1)\log (x-1)-(x-1))\big ]_2^3\\ \\ &=&3\log 6 - (3\log 3 -3) -(4\log 4-4) +(2\log 2-2) -2\log 6 + (2\log 2 -2) +(3\log 3-3) -(1\log 1-1)\\ \\ &=&\log 6 -(4\log 4-4) +2(2\log 2-2) +1\\ \\ &=&(\log 2 + \log 3) -8\log 2 +4\log 2 +1\\ \\ &=&1-3\log 2 + \log 3 \end{eqnarray*}
$ちなみにこの値を電卓で計算すると、S=0.019 \ \ とかなり小さな値です。$


ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る