重複組合せ


$異なる \ n\ 個のものから同じものを繰返しとる(これを重複してとるといいます)ことを許して \ r\ 個とる組合せを$

$重複組合せといい、その総数を \ \ _n\mathrm{H}_r \ \ と表します。$

$例\ \ 3\ 個の文字 \ a,\ b,\ c\ から重複を許して \ 4\ 個とる重複組合せ$

$とった文字は \ a,\ b,\ c\ の順に並べることとします。$

$例えば$

(i)$\ \ a\ を \ 2\ 個、b\ を \ 1\ 個、c\ を \ 1\ 個とった場合は \ \ \{a,\ a,\ b,\ c\}\ \ と表せます。$

(ii)$\ \ a\ を \ 1\ 個、c\ を \ 3\ とった場合は \ \ \{a,\ c,\ c,\ c\}\ \ と表せます。$

(iii)$\ \ b\ を \ 4\ 個とった場合は \ \ \{b,\ b,\ b,\ b\}\ \ と表せます。$

$ここで、a,\ b,\ c,を単に$○$であらわすことにすると、区切りが必要になりますので、それを$○$で表すことにします。$

$この方法で上の$(i),(ii),(iii)$を表すと$

$\qquad $ ○○○○○○$,\qquad $ ○○○○○○$,\qquad $ ○○○○○○

$となりますが、これらは$○$\ 4\ 個、$○$ \ 2\ 個の同じものを含む順列になります。$

$その総数は、 _6\mathrm{C}_4 \ \ 通り\ \ です。$

$ここで、6=2+4=(3-1)+4=3+4-1 \quad だから \quad _3\mathrm{H}_4=_{3+4-1}\mathrm{C}_4=_6\mathrm{C}_4 \quad が成りたちます。$

$一般に、_n\mathrm{H}_r \ \ は \ r\ 個の$○$と区切りのための \ (n-1)\ 個の$○$の同じものを含む順列だから \qquad _n\mathrm{H}_r =_{n+r-1}\mathrm{C}_r $


$次のように考えることもできます。$

$例の \ 3\ 個の文字 \ a,\ b,\ c\ を \ 1,\ 2,\ 3\ の数字に置き換えてみます。$

(i),(ii),(iii)$は \ \ (1,\ 1,\ 2,\ 3),\ \ (1,\ 3,\ 3,\ 3),\ \ (2,\ 2,\ 2,\ 2)\ \ となります。$

$それぞれ \ 4\ 個の数字に順に、0,\ 1,\ 2,\ 3\ を加えると \ \ (1,\ 2,\ 4,\ 6),\ \ (1,\ 4,\ 5,\ 6),\ \ (2,\ 3,\ 4,\ 5)\ \ となります。$

$この操作によって、4\ 個の数字には同じ数字は含まれず、右にある数字は左の数字より大きくなります。$

$したがって、これは \ \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\ の \ 6\ 個の数字から \ 4\ 個とる組合せになりますから全部で \qquad _6\mathrm{C}_4\ \ 通り$

$一般に、n\ 個の数字 \ \ \{1,\ 2,\ 3,\ \cdots , \ n\}\ \ から重複を許して \ r\ 個とった重複組合せは$

$\{1,\ 2,\ 3,\ \cdots , \ n+r-1\}\ \ から \ r\ 個とる組合わせに一致しますから \quad _n\mathrm{H}_r =_{n+r-1}\mathrm{C}_r \quad が成りたちます。$


$重複組合せ$
$\quad 異なる \ n\ 個のものから重複してとることを許して \ r\ 個とる重複組合せの総数は$
$\hspace{3em} _n\mathrm{H}_r = _{n+r-1}\mathrm{C}_r \quad 通り $


$代表的な重複組合せの問題を考えましょう。$

$問題1$

$かき、りんご、みかんがたくさんある。これら \ 3\ 種類のくだものから \ 5\ 個とってセットにする方法は$

$何通りあるか。$

$\quad 異なる \ 3\ 個のものから重複を許して \ 5\ 個とる重複組合せだから$

$\quad _3\mathrm{H}_5 = _7\mathrm{C}_5=_7\mathrm{C}_2=\cfrac{7 \times 6}{2}=21\ \ 通り$


$問題2$

$A,\ B,\ C,\ D\ の \ 4\ 人に \ 10\ 個のりんごを分ける分け方は何通りあるか。$

$\quad \{A,\ B,\ C,\ D\}\ \ から重複を許して \ 10\ 個とって$

$\quad 例えば、AAAABBCCCD\ \ ととった場合は、A\ に \ 4\ 個、,B\ に \ 2\ 個、,C\ に \ 3\ 個、,D\ に \ 1\ 個分けるとします。$

$\quad したがって、異なる \ 4\ 個のものから重複を許して \ 10\ 個とる重複組合せだから$

$\quad _4\mathrm{H}_{10} = _{13}\mathrm{C}_{10}=_{13}\mathrm{C}_3=\cfrac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2}=286 \ \ 通り$


$問題3$

$(a+b+c)^8 \ \ の展開式における異なる項はいくつあるか。$

$\quad \{a,\ b,\ c\}\ \ から重複を許して \ 8\ 個とって$

$\quad 例えば、aaaabbbc \ \ ととった場合は、a^4b^3c \ \ とします。$

$\quad したがって、異なる \ 3\ 個のものから重複を許して \ 8\ 個とる重複組合せだから$

$\quad _3\mathrm{H}_8 = _{10}\mathrm{C}_{8}=_{10}\mathrm{C}_2=\cfrac{10 \times 9}{2 }=45 \ \ 個$


$問題4$

$3\ 桁の整数 \ n\ の百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ \ a,\ b,\ c \ とする。a \geqq b \geqq c \ \ であるような整数 \ n\ は$

$いくつあるか。$

$\quad \{0,\ 1,\ \cdots ,\ 9\}\ \ の \ 10\ 個の数字から重複を許して \ 8\ 個とって$

$\quad 例えば、0,\ 3,\ 5 \ ととった場合は、530\ \ とし、1,\ 1,\ 2\ ととった場合は、211 \ \ とします。$

$\quad ただし、0,\ 0,\ 0 \ \ は除きます。$

$\quad したがって、異なる \ 10\ 個のものから重複を許して \ 3\ 個とる重複組合せだから$

$\quad _{10}\mathrm{H}_3 -1 = _{12}\mathrm{C}_{3}-1=\cfrac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2}-1=219\ \ 個$


$問題5$

$方程式 \ \ x+y+z=8 \ \ の負でない整数解は何組あるか。$

$\quad 例えば \ \ x=4,\ y=3,\ z=1\ \ は解であるが、これを \ \ xxxxyyyz \ \ と考えると$

$\quad \{x,\ y,\ z\}\ \ の \ 3\ 個の数字から重複を許して \ 8\ 個とる重複組合せだから$

$\quad _3\mathrm{H}_8 = _{10}\mathrm{C}_{8}=_{10}\mathrm{C}_{2}=\cfrac{10 \times 9 }{2}=45 \ \ 組$

$なお、この問題で正の整数解とした場合は$

$\quad X=x-1,\ \ Y=y-1,\ \ Z=z-1 \ \ とおくと \ X,\ Y,\ Z\ は負でない整数で$

$\quad X+Y+Z=5\ \ だから \quad _3\mathrm{H}_5 = _7\mathrm{C}_{5}=_7\mathrm{C}_{2}=\cfrac{7 \times 6 }{2}=21\ \ 組$


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