広島大学(理系) 2024年 問題5
$関数 \ f(x)=\log(x+\sqrt{1+x^2})\ \ に対し、次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 曲線 \ y=f(x) \ は \ x > 0\ で上に凸であることを示せ。$
$(2)\ \ すべての \ x \geqq 0 \ に対し、不等式 \ \ \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \leqq f(x) \leqq x \ \ が成り立つことを示せ。$
\[(3)\ \ 定積分 \ \ \int_0^{\scriptsize{\dfrac{3}{4}}} f(x)dx \ \ の値 \ S\ を求めよ。\]
$(4)\ \ 曲線 \ y=f(x)\ 上の点で、x\ 座標が \ \cfrac{3}{4}\ であるものを \ A\ とする。また、点A\ における曲線 \ y=f(x)\ の$
$\quad 接線を \ \ell \ とする。\ell \ と直線 \ y=x\ の交点を \ B\ とする。点O(0,\ 0),\ A,\ B\ と点C(\dfrac{3}{4},\ 0)\ を頂点にもつ$
$\quad 四角形 \ ABOCの面積 \ T\ を求めよ。$
$(5)\ \ (1)～(4)を利用して、\log 2 \ \ の小数第 \ 1\ 位の数字を求めよ。$
(1)
$f'(x)=\cfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\cfrac{\sqrt{1+x^2} +x}{\sqrt{1+x^2}(x+\sqrt{1+x^2})}=\cfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} > 0 $
$f''(x)=\cfrac{-\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}=-\cfrac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}< 0$
$よって \quad y=f(x) \ は \ x > 0\ で上に凸である。$
(2)
(i)$\ \ g(x)=x-f(x) \quad とおくと$
$\quad g'(x)=1-f'(x)=1-\cfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} =\cfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}}=\cfrac{x^2}{\sqrt{1+x^2}(\sqrt{1+x^2}+1)} \geqq 0 $
$\quad g(x)\ は \ x \geqq 0 \ \ で単調増加だから \quad g(x) \geqq g(0)=f(0)=0 $
$\quad \therefore \ \ f(x) \leqq x $
(ii)$\ \ h(x)=f(x) - \cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \quad とおくと$
$\quad (1)より \quad h(x)=f(x)-xf'(x) \quad だから$
$\quad h'(x)=f'(x)-f'(x)-xf''(x)=-xf''(x)=\cfrac{x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} \geqq 0$
$\quad h(x)\ は \ x \geqq 0 \ \ で単調増加だから \quad h(x) \geqq h(0)=f(0)=0 $
$\quad \therefore \ \ \cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \leqq f(x) $
(i),(ii)$\ \ より \quad \cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \leqq f(x) \leqq x \quad ただし等号は \ x=0\ のとき$
(3)
\begin{eqnarray*} S &=&\int_0^{\scriptsize{\dfrac{3}{4}}} f(x)dx\\ \\ &=&\int_0^{\scriptsize{\dfrac{3}{4}}} \log (x+\sqrt{1+x^2})dx\\ \\ &=&\big[x\log (x+\sqrt{1+x^2})\big]_0^{\scriptsize{\dfrac{3}{4}}} -\int_0^{\scriptsize{\dfrac{3}{4}}} x \times \cfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx\\ \end{eqnarray*}
$第1項=\dfrac{3}{4}\log (\dfrac{3}{4}+\sqrt{1+\dfrac{9}{16}})=\dfrac{3}{4}\log (\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{4})=\dfrac{3}{4}\log 2$
\[第2項=\int_0^{\scriptsize{\dfrac{3}{4}}} \cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx=\big[\sqrt{1+x^2}\big]_0^{\scriptsize{\dfrac{3}{4}}}=\sqrt{1+\dfrac{9}{16}}-1=\cfrac{5}{4}-1=\cfrac{1}{4}\] $\therefore \ \ S=\cfrac{3}{4}\log 2-\cfrac{1}{4}$
(4)
$(1)より \ y=f(x) \ は \ x > 0\ で上に凸だから$
$点A\ における接線 \ \ell \ は \ y=f(x)\ より上にある。$
$このことについては($曲線の凹凸$)を参考にしてください。$
$(2)より \ \ f(x) \leqq x \ \ だから \ \ y=x \ は \ y=f(x)\ より上にある。$
$したがって、折れ線 \ OBA\ は右図のとおり、y=f(x)\ より上にある。$
$f(\cfrac{3}{4})=\log(\cfrac{3}{4}+\sqrt{1+\dfrac{9}{16}})=\log(\cfrac{3}{4}+\cfrac{5}{4})=\log 2$
$よって \quad A(\cfrac{3}{4},\ \log 2)$
$f'(x)=\cfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} \quad より \quad f'(\cfrac{3}{4})=\cfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{9}{16}}}=\cfrac{4}{5}$
$点A\ における曲線 \ y=f(x)\ の接線 \ \ell \ は$
$y=\cfrac{4}{5}(x-\cfrac{3}{4})+\log 2 \qquad y=\cfrac{4}{5}x-\cfrac{3}{5}+\log 2$
$\ell \ と直線 \ y=x\ の交点 \ B\ は$
$x=\cfrac{4}{5}x-\cfrac{3}{5}+\log 2 \quad より \quad x=-3+5\log 2$
$よって、B(-3+5\log 2,\ -3+5\log 2)$
$四角形 \ ABOC\ は右図のとおりで、y\ 軸に平行な線分 \ BD\ で分割すると四角形 \ ABOCの面積 \ T\ は$
\begin{eqnarray*}
T
&=&\triangle OBD + 台形 BDCA\\
\\
&=&\cfrac{1}{2} \times OD \times BD + \cfrac{1}{2}(BD + AC) \times DC\\
\\
&=&\cfrac{1}{2}(-3+5\log 2)^2 + \cfrac{1}{2}\big((-3+5\log 2) + \log 2\big) \big(\cfrac{3}{4}-(-3+5\log 2)\big)\\
\\
&=&\cfrac{1}{2}(-3+5\log 2)^2 + \cfrac{1}{2}(-3+6\log 2)(\cfrac{15}{4}-5\log 2)\\
\\
&=&\cfrac{1}{8}\big(-9+30\log 2 -20(\log 2)^2\big)\\
\end{eqnarray*}
(5)
$(2)より \quad \cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\leqq f(x) \quad だから$
$曲線 \ y=\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\ は \ y=f(x)\ より下にある。$
\[よって、\int_0^{\scriptsize{\dfrac{3}{4}}} \cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx < S < T \quad が成りたつ\]
\[(3)の計算で求めたように \quad \int_0^{\scriptsize{\dfrac{3}{4}}} \cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx=\cfrac{1}{4}\]
(i)$\ \ \cfrac{1}{4} < S \quad より$
$\quad \cfrac{1}{4} < \cfrac{3}{4}\log 2-\cfrac{1}{4} $
$\quad \cfrac{2}{3} < \log 2$
(ii)$\ \ S < T \quad より$
$\quad \cfrac{3}{4}\log 2-\cfrac{1}{4} < \cfrac{1}{8}(-9+30\log 2 -20(\log 2)^2)$
$\quad 20(\log 2)^2-24\log 2 +7 <0$
$\quad (10\log 2-7)(2\log 2 -1) < 0$
$\quad \cfrac{1}{2} < \log 2 < \cfrac{7}{10}$
(i),(ii)$\ \ より \quad \cfrac{2}{3} < \log 2 < \cfrac{7}{10}$
$すなわち \quad 0.66\cdots < \log 2 < 0.7$
$よって、\log 2 \ \ の小数第 \ 1\ 位の数字は 6$
$なお、正確な値は \quad \log 2=0.6931 \cdots \quad です。$
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