広島大学(理系) 2022年 問題5
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \sqrt{2}^{(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})} \ と\ \big(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\big)^{\sqrt{2}} \ との大小を比較せよ。$
$(2)\ \ 関数 \ f(x)\ を \ f(x)=\sqrt{2}\ ^x \ と定義し、座標平面上の曲線 \ y=f(x)\ を \ C\ とする。C\ 上の点 \ (2,\ f(2))\ における$
$\quad 接線の方程式を、実数 \ m,\ k\ を用いて \ \ y=mx+k \ \ と表すとき、m\ と \ k\ の値をそれぞれ求めよ。$
$(3)\ \ f(x)\ および \ m\ と \ k\ を(2)のように定める。すべての実数 \ x\ に対して\ \ f(x) \geqq mx+k \ \ が成り立つことを示せ。$
$(4)\ \ 数列 \ \{a_n\} \ を \ a_1=\sqrt{2}\ \ および漸化式 \ \ a_{n+1}=\sqrt{2}\ ^{a_n} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ により定義する。自然数 \ n\ に対して$
$\hspace{4em} 2-a_{n+1} \leqq (\log 2) \cdot (2-a_n) $
\[が成り立つことを示し、極限値 \ \ \lim _{n \rightarrow \infty} a_n \ \ を求めよ。\]
$\quad 必要ならば、自然対数の底が \ \ e=2.718\cdots \ \ であることを用いてよい。$
$(解説)$
$(1)\ \ ややもすると同じ値かなと思われますが異なる数です。底が同じですので指数で大小を比較します。$
$(2)\ \ 単なる指数関数の微分法で求めます。$
$(3)\ \ 差をとった関数の最小値を調べます。$
$(4)\ \ (1)の左側の数は、数列\{a_n\} の第 \ 3\ 項です。(3)をつかってはさみ打ちにします。$
$\quad 補充として(1)の右側の数について調べました。$
(1)
$\sqrt{2}^{(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})} \ と\ \big(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\big)^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{(\sqrt{2})^2} \ の底はともに \ \ \sqrt{2}\ \ だから大小は指数の大小で決まる。$
$\sqrt{2}^{\sqrt{2}} \ と(\sqrt{2})^2 \ の底はともに \ \ \sqrt{2}\ \ だから大小は指数の大小で決まる。$
$\sqrt{2} < 2 \quad だから \quad \sqrt{2}^{\sqrt{2}} < (\sqrt{2})^2 $
$よって \quad \sqrt{2}^{(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})} < \sqrt{2}^{(\sqrt{2})^2} \quad すなわち \quad \sqrt{2}^{(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})} < \big(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\big)^{\sqrt{2}}$
$一般に \quad a > 0 \quad として \quad a^{(a^a)} \ と\ \big(a^a \big)^a \quad の大小は$
$\big(a^a \big)^a =a^{a ^2} \quad だから \quad a^{(a^a)}\ \ と \ \ a^{a ^2}\ \ を比べればよい$
$底はともに \ a \ だから大小は指数の大小で決まる。$
$a^a \ と \ a ^2 \ の大小は、底はともに \ a\ だから指数の大小で決まる。$
(i)$\ \ 0 < a < 2 \quad のとき \quad a^a < a ^2 \quad だから \quad a^{(a^a)} < a^{a ^2} \quad すなわち \quad a^{(a^a)} < \big(a^a \big)^a $
(ii)$\ \ a = 2 \quad のとき \quad a^a = a ^2 \quad だから \quad a^{(a^a)} = a^{a ^2} \quad すなわち \quad a^{(a^a)} = \big(a^a \big)^a $
(iii)$\ \ a > 2 \quad のとき \quad a^a > a ^2 \quad だから \quad a^{(a^a)} > a^{a ^2} \quad すなわち \quad a^{(a^a)} > \big(a^a \big)^a $
$なお、(1)\ は \ \ a=\sqrt{2} \quad だから $ (i)$\ の場合にあたります。$
(2)
$y=\sqrt{2}\ ^x =2^{\scriptsize{\cfrac{x}{2}}} \quad より \quad y'=\cfrac{\log 2}{2} 2^{\scriptsize{\cfrac{x}{2}}} $
$C\ 上の点 \ A(2,\ f(2))\ における接線の方程式は$
$y=\cfrac{\log 2}{2} \cdot 2 (x-2)+2 $
$y=(x-2)\log 2 +2$
$y=x\log 2 +2-2\log 2$
$よって \quad m=\log 2,\quad k=2-2\log 2$
(3)
$g(x)=f(x)-(mx+k) \quad とおくと$
$g(x)=\sqrt{2}\ ^x -(x\log 2 +2-2\log 2)=2^{\scriptsize{\cfrac{x}{2}}} -(x\log 2 +2-2\log 2)$
$g'(x)=\cfrac{\log 2}{2} 2^{\scriptsize{\cfrac{x}{2}}} -\log 2 =\cfrac{\log 2}{2} (2^{\scriptsize{\cfrac{x}{2}}} - 2)$
$g'(x)=0 \quad より \quad x=2$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& \cdots & 2 & \cdots \\ \hline g'(x) & - & 0 & + \\ \hline g(x) & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \] $g(x)\ は \ \ x=2\ \ で極小かつ最小となり、最小値は \ \ g(2)=2 -(2\log 2 +2-2\log 2)=0$
$g(x) \geqq g(2)=0 \quad だから、すべての実数 \ x\ に対して \quad f(x) \geqq mx+k $
$一般に、曲線 \ y=f(x) \ がある区間で、f''(x) > 0 \ \ ならば$
$この曲線はこの区間の任意の接線の上側にあります。$
$詳しくは($曲線の凹凸$)を参考にしてください。$
$f'(x)=\cfrac{\log 2}{2} 2^{\scriptsize{\cfrac{x}{2}}} ,\qquad f''(x)=\big(\cfrac{\log 2}{2}\big)^2 2^{\scriptsize{\cfrac{x}{2}}}>0 $
$よって \quad f(x) \geqq mx+k $
(4)
$(Ⅰ) \quad (3)より \quad \sqrt{2}\ ^x \geqq x\log 2 +2-2\log 2$
$x=a_n \ \ を代入して$
$\quad \sqrt{2}\ ^{a_n} \geqq a_n\log 2 +2-2\log 2 $
$\quad a_{n+1} \geqq a_n\log 2 +2-2\log 2 $
$\quad 2- a_{n+1} \leqq \log 2 (2-a_n) $
\begin{eqnarray*} 2- a_n &\leqq & (\log 2) (2-a_{n-1})\\ \\ &\leqq & (\log 2)^2 (2-a_{n-2})\\ \end{eqnarray*} $\hspace{6em} \vdots$
\begin{eqnarray*} \hspace{3em} &\leqq &(\log 2)^{n-1} (2-a_1)\\ \\ &\leqq &(\log 2)^{n-1} (2-\sqrt{2})\\ \end{eqnarray*}
$(Ⅱ) \quad a_n < 2 \ \ であることを数学的帰納法で証明する。$
(i)$\ \ n=1 \ \ のとき \quad a_1=\sqrt{2} < 2 \quad より成りたつ$
(ii)$\ \ n=k \ \ のとき成りたつとすると \quad a_k <2 $
$\quad このとき \quad a_{k+1}=\sqrt{2}\ ^{a_k} < \sqrt{2}\ ^2=2$
$\quad よって \quad n=k+1\ \ のときも成りたつ。$
(i),(ii)$\ \ よりすべての自然数 \ n\ において \quad a_n <2$
$したがって \quad 2-a_n >0$
$(Ⅰ),(Ⅱ)\ から$
$0 < 2-a_n \leqq (\log 2)^{n-1} (2-\sqrt{2})$
$ 0 < \log 2 <\log e =1 \quad だから$
$n \longrightarrow \infty \quad とすると \quad (\log 2)^{n-1} (2-\sqrt{2}) \longrightarrow 0$
$はさみ打ちの原理により \quad 2-a_n \longrightarrow 0$
\[\therefore \ \ \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=2\]
$(補充)$
$a_1=\sqrt{2} ,\quad a_{n+1}=\sqrt{2}\ ^{a_n} \quad より$
$a_2=\sqrt{2}\ ^{a_1}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$
$a_3=\sqrt{2}\ ^{a_2}=\sqrt{2}^{(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})}$
$\hspace{4em} \vdots$
$このように数列 \ \{a_n\}\ は左下に \ \ \sqrt{2}\ \ が次々に付いていきますが、(4)で調べたように$
$この数列は \ 2\ に収束するわけです。$
$一方、b_1=\sqrt{2} ,\quad b_{n+1}=b_n^{\sqrt{2}}\ \ で定義される数列 \ \{b_n\}\ は$
$b_2=b_1^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$
$b_3=b_2^{\sqrt{2}}=\big(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\big)^{\sqrt{2}}$
$\hspace{4em} \vdots$
$このように数列 \ \{b_n\} \ は右上に \ \ \sqrt{2}\ \ が次々に付いて$
$いきます。$
$右は \ \ \{a_n\}\ \ と \ \ \{b_n\}\ \ について第 \ 15\ 項まで \ Excel\ を用いて$
$計算した表です。$
$\{a_n\}\ は \ 2\ に収束し、\{b_n\}\ \ は \ \ +\infty \ \ に発散する様子がわかります。$
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