絶対収束とガンマ関数
(1) 絶対収束
\[\left| \int_a^\infty f(x)dx \right| \leqq \int_a^\infty \left|f(x) \right| dx だから \hspace{21em}\] \[\int_a^\infty \left|f(x) \right| dx が収束すれば、\int_a^\infty f(x)dx も収束する。\hspace{14em}\] \[このとき、\int_a^\infty f(x)dx は絶対収束するという。 \hspace{19em}\]
絶対収束に関して次の定理が成り立ちます。
$\hspace{2em} 定理４ 十分大きな数A に対し、A \leqq x であるxでf(x) は連続で、$
\[\alpha ,K が存在し、\alpha > 1 , \quad x^\alpha \left| f(x) \right| \leqq K ならば \ \ \int _a^\infty f(x)dx は絶対収束する。 \hspace{1em}\]
(証明）
\[a \leqq 0 ならば 0 < b をとって \int _a^bf(x)dx + \int _b^\infty f(x)dx \hspace{20em} \] $\hspace{2em} と分けられるから、はじめから a > 0 としてよい。$
$\hspace{2em}a < b < c $ とすると
\[\int _b^c \left|f(x) \right|dx \leqq \int_b^c Kx^{-\alpha}dx=\cfrac{K}{\alpha -1}\big(\cfrac{1}{b^{\alpha-1}}-\cfrac{1}{c^{\alpha-1}}\big)\hspace{20em}\]
$\hspace{2em} \alpha > 1 だから \forall \varepsilon > 0 に対し Aを十分大きくとると$
$\hspace{3em} A \leqq b < c ならば 右辺 < \varepsilon $
(2) ガンマ関数
\[s を正の定数とすると \int _0^\infty e^{-x}x^{s-1}dx は収束する。\hspace{16em}\]
（証明）
$\hspace{2em} f(x)=e^{-x}x^{s-1} とし、 s \ より大きく、一番近い整数を\ k \ とすると$
$\hspace{4em} x \geqq 1 のとき$
\begin{eqnarray*} \hspace{2em} x^2f(x)&=&e^{-x}x^{s+1}\hspace{36em}\\ \\ &=&\cfrac{x^{s+1}}{e^x}\\ \\ &<& \cfrac{x^{k+1}}{e^x}\\ &=&\cfrac{x^{k+1}}{1+x+\cfrac{x^2}{2!}+ \cdots +\cfrac{x^{k+1}}{(k+1)!}+ \cdots}\\ \\ &<& \frac{x^{k+1}}{\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}}\\ \\ &=& (k+1)!\\ \end{eqnarray*}
したがって $(k+1)!=K とおくと x^2f(x) < K$
\[これは定理４を満たすので、\int _1^\infty e^{-x}x^{s-1}dx は収束する。\hspace{18em}\] よって
\[\int _0^\infty e^{-x}x^{s-1}dx は収束する。\hspace{28em}\]
そこで、この値を$s$の関数とみて
\[\Gamma(s)=\int _0^\infty e^{-x}x^{s-1}dx \hspace{2em} をガンマ関数という。\hspace{16em}\]
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