広義積分の収束定理 その2
積分区間が無限の広義積分について
$(1) \quad f(x) が a \leqq x $で連続のとき \[\lim_{b \to + \infty} \int_a^b f(x)dx が存在するならば、 その極限値を \int_a^\infty f(x)dx とかく。 \hspace{12em}\]
$(2) \quad f (x) が x \leqq b $で連続のとき \[\lim_{a \to - \infty} \int_a^b f(x)dx が存在するならば、 その極限値を \int_{-\infty}^bf(x)dx とかく。 \hspace{12em}\]
$(3) \quad f(x) が 実数 \mathbb {R}$ で連続のとき \[\lim_{\substack{a \to - \infty \\ b \to + \infty}}\int_a^b f(x)dx が存在するならば、 その極限値を \int_a^bf(x)dx とかく。 \hspace{12em}\]
積分区間が無限の広義積分について、次の収束定理が成り立ちます。
$\hspace{1em} 定理３ \hspace{2em} f(x) \ は \ a \leqq x \ で連続とする。$ \[I=\int_a^\infty f(x)dx が収束する \Longleftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0 に対し A \leqq b < c を満たす \forall b,c で \hspace{2em}\] \[\hspace{18em} \left | \int_b^cf(x)dx \right| < \varepsilon となる十分大きな実数Aが存在する。\]
$\quad \Longrightarrow の証明$\[I=\int_a^\infty f(x)dx が収束すれば、\forall \varepsilon >0 に対し十分大きな実数Aを定め、\hspace{11em}\] $\hspace{5em} A \leqq b_n 、n \rightarrow \infty のとき b_n \rightarrow \infty となる数列 \{b_n\} に対し、$
\[I_n=\int_a^{b_n}f(x)dx とおくと \left|I-I_n \right|<\cfrac{\varepsilon}{2} とできるから \hspace{17em}\] \[\left| \int_a^\infty f(x)dx - \int_a^{b_n}f(x)dx \right|<\cfrac{\varepsilon}{2} \hspace{27em}\] 同様に
$\hspace{5em} A \leqq c_n 、n \rightarrow \infty のとき c_n \rightarrow \infty となる数列 \{c_n\} に対し、$
\[\left| \int_a^\infty f(x)dx - \int_a^{c_n}f(x)dx \right|<\cfrac{\varepsilon}{2} \hspace{26em}\]
そこで、 $A \leqq b_n < c_n \ である \ b_n,\ c_n \ をとると$
\begin{eqnarray*} \left | \int_{b_n}^{c_n} f(x)dx \right| &=& \left|\int_{b_n}^a f(x)dx + \int_a^{c_n} f(x)dx ) \right| \hspace{21em}\\ &=& \left|\ -\int_a^{b_n} f(x)dx + \int_a^{c_n} f(x)dx ) \right| \\ &=& \left|\Big(\int_a^\infty f(x)dx - \int_a^{b_n} f(x)dx \Big)-\Big(\int_a^\infty f(x)dx - \int_a^{c_n} f(x)dx \Big) \right| \\ & \leqq & \left|\int _a^\infty f(x)dx - \int_a^{b_n} f(x)dx \right|+\left| \int_a^\infty f(x)dx - \int_a^{c_n} f(x)dx \right| \\ &<& \cfrac{\varepsilon}{2} + \cfrac{\varepsilon}{2} \\ &=& \varepsilon \\ \end{eqnarray*} $ \hspace{2em} あらためて、b_n\ を\ b,\ c_n を \ c\ とおきかえて$
\[ \left | \int_b^cf(x)dx \right| < \varepsilon \hspace{31em}\]
$\quad \Longleftarrow の証明$
$\hspace{3em} A \leqq b_n < b_m $に対し
\[\left|\int_{b_n}^{b_m} f(x)dx\right|< \varepsilon ならば \hspace{27em}\] \[\left|I_m-I_n \right|=\left|\int_a^{b_m}f(x)dx - \int _a^{b_n}f(x)dx \right|=\left|\int_{b_n}^{b_m}f(x)dx \right| < \epsilon \hspace{12em}\] \[したがって I_n \ はコーシー列となるから \lim_{n \to \infty} I_n =I が存在する。\hspace{17em}\] \[すなわち I=\int_a^\infty f(x)dx は収束する。 \hspace{29em}\]
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