広義積分の収束定理 その1
積分区間が、有限であるがその中に有界でない点がある場合や無限区間の場合の積分を
広義積分（他にもいろいろな呼び方がある）といいます。
$(1)\quad f(x) が \ a \leqq x < b \ で連続であるが x=b \ で定義されていなかったり、不連続だった場合$ \[\lim_{\delta \to +0} \int_a^{b- \delta} f(x)dx が存在するならば、その極限値を\hspace{18em} \] \[ \int_a^bf(x)dx とかき 広義積分は x=b で収束するといいます。\hspace{14em}\]
$(2) \quad f(x) が \ a < x \leqq b \ で連続であるが x=a \ で定義されていなかったり、不連続だった場合$ \[\lim_{\delta \to +0} \int_{a+\delta} ^b f(x)dx が存在するならば、その極限値を \hspace{18em}\] \[\int_a^bf(x)dx とかき 広義積分は \ x=a\ で収束するといいます。\hspace{14em}\]
$(3) \quad a < x < b$ についても同様です。
広義積分について、次の収束定理が成り立ちます。
$\quad 定理１ f(x) が \ a \leqq x < b \ において、 f(x) \geqq 0 \ でかつ連続であるが、x=b \ で不連続であるとする。$
$\hspace{3em} 0 < \beta < 1 , \hspace{1em} 0 \leqq (b-x)^\beta f(x) \leqq M を満たす定数 \beta , Mが存在するならば$
\[広義積分 \int_a^bf(x)dx は収束する。 \hspace{20em}\]
(証明）
\[G(t)=\int_a^tf(x)dx \hspace{12em} (a < t < b) とおくと \hspace{14em}\] $\hspace{2em} G'(t)=f(t) \geqq 0 \ だから G(t) は単調増加である。$
また、
\[f(x) \leqq \cfrac{M}{(b-x)^\beta} より \hspace{33em}\] \begin{eqnarray*} G(t) &\leqq & \int_a^t \cfrac{M}{(b-x)^\beta} dx \hspace{32em}\\ &=& M \int_a^t (b-x)^{-\beta} dx \\ &=& -\cfrac{M}{1- \beta}\big[(b-x)^{1- \beta} \big]_a^t \\ &=&\cfrac{M}{1- \beta} \{(b-a)^{1- \beta}-(b-t)^{1- \beta} \} \\ &\leqq & \cfrac{M}{1- \beta} (b-a)^{1- \beta} \\ \end{eqnarray*} 右辺は定数で、$G(t)$ は上に有界な単調増加関数だから極限値が存在する。
\[よって \lim_{t \to b-0} G(t)=\int_a^b f(x)dx は収束する。\hspace{24em}\]
$\quad 定理２ f(x) が \ a < x \leqq b \ において、 f(x) \geqq 0 \ でかつ連続であるが、x=a \ で不連続であるとする。$
$\hspace{3em} 0 < \alpha <1 , \hspace{1em} 0 \leqq (x-a)^\alpha f(x) \leqq K を満たす定数 \alpha , Kが存在するならば$
\[広義積分 \int_a^bf(x)dx は収束する。\hspace{24em} \]
(証明）
\[F(t)=\int_t^bf(x)dx \hspace{2em} (a < t < b) とおくと \hspace{14em}\] $\hspace{2em} F'(t)=-f(t) \leqq 0 \ だから F(t) は単調減少である。$
また、
\[f(x) \leqq \cfrac{K}{(x-a)^\alpha} より \hspace{22em}\] \begin{eqnarray*} F(t)&\leqq &\int_t^b \cfrac{K}{(x-a)^\alpha} dx \hspace{21em}\\ &=&K \int_t^b (x-a)^{-\alpha} dx \\ &=& \cfrac{K}{1- \alpha}\big[(x-a)^{1- \alpha} \big]_t^b \\ &=&\cfrac{K}{1- \alpha} \{(b-a)^{1- \alpha}-(t-a)^{1- \alpha} \} \\ &\leqq &\cfrac{K}{1- \alpha} (b-a)^{1- \alpha} \\ \end{eqnarray*} 右辺は定数で、$tが減少しながらaに近づくとき、F(t)$ は逆に増加することになる。
ところが、$F(t)$は上に有界だから極限値が存在する。
\[よって \lim_{t \to a+0} F(t)=\int_a^b f(x)dx は収束する。 \hspace{14em}\]
なお、$a < x < b において f(x) \geqq 0 で連続であるが\ x=a,\ x=b \ で不連続であるときは、$
$a < c < b \ である c をとって$
\[\int_a^bf(x)dx= \int_a^cf(x)dx + \int_c^bf(x)dx \hspace{10em}\] として第１項には定理２を、第２項には定理１を適用すればよい。
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