3　分解体

$\quad 体 \ F \ 中に係数をもつn次方程式 \ f(x)=0 \ の解　u_1,\ u_2,\cdots , \ u_n \ が \ F \ の拡大体 \ K \ の元を用いて表され$
$\hspace{2em} $(i) $ \ f(x) = a(x-u_1)(x-u_2) \cdots (x-u_n) 　と分解される。$
$\hspace{2em} $(ii) $ \ K = F(u_1,\ u_2, \cdots , \ u_n ) 　で生成される。$
$\quad とき、K \ は \ f(x) \ の分解体あるいは根体であるという。$


$例1 \quad Q上　f(x)=x^3-2 　の分解体$

$\hspace{2em} x^3-2=0 　の解は　x=\sqrt[3]{2}, \ \sqrt[3]{2}\omega , \ \sqrt[3]{2}\omega ^2 　だから$

$\hspace{2em} x^3-2=(x-\sqrt[3]{2})(x-\sqrt[3]{2}\omega)(x-\sqrt[3]{2}\omega ^2) 　と分解される。$

$\hspace{4em} ただし、\omega^2+\omega +1=0 　だから　\sqrt[3]{2}\omega ^2=-\sqrt[3]{2}(\omega +1)$

よって　分解体は

$\hspace{3em} Q(\sqrt[3]{2},\ \sqrt[3]{2}\omega ,\ \sqrt[3]{2}\omega ^2)=Q(\sqrt[3]{2},\ \omega )$

なお
$\hspace{2em} Q \longrightarrow Q(\sqrt[3]{2}) 　が　3次の拡大、 \quad Q(\sqrt[3]{2}) \longrightarrow Q(\sqrt[3]{2},\omega) 　が　2次の拡大だから$

$\hspace{2em} 拡大体　Q(\sqrt[3]{2},\omega)\ は　Q \ 上　 3 \times 2=6 \ $ 次となる。



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