１ 体の自己写像
定義 体$K$の自己同型写像
$\quad KからKへの1対1対応 a \longleftrightarrow aT \quad (あるいはa \longleftrightarrow Ta )で\hspace{2em} \forall a,b\in K に対して$
$\hspace{2em}$ (i) $\quad (a+b)T=aT+bT \hspace{2em}$ (ii) $\quad (ab)T=(aT)(bT)$
$\quad が成りたつ対応を体の自己同型写像という。$
(i)で $a \rightarrow a-b とおくと aT=(a-b)T+bT \quad \therefore \quad (a-b)T=aT-bT$
(ii)で $a \rightarrow \cfrac{a}{b} とおくと aT=\big(\cfrac{a}{b}\big)T\ (bT) \quad \therefore \quad \big(\cfrac{a}{b}\big)T=\cfrac{aT}{bT}$
であるから、体の自己同型写像は、四則演算が保存されることがわかる。
$\hspace{2em} 定理1 自己同型写像 \ T \ において \hspace{2em}$ (i) $\quad 0T=0 \hspace{2em}$ (ii) $\quad 1T=1$
(i)は $a-a=0 を写すと (a-a)T=0T で 左辺=aT-aT=0$
(ii) は $1 \times 1=1 を写すと (1 \times 1)T=1T で 左辺=1T \times 1T$
$\quad 移項してまとめると 1T(1T-1)=0$
$\quad Tは1対1対応だから 0に対応するのは0だけである。$
$\quad したがって 1T \ne 0 よって 1T=1$
$\hspace{2em} 定理2 a \in Q（有理数全体の集合） ならば aT=a$
$\hspace{4em} すなわち 自己同型写像は有理数を動かさない。$
(i) 自然数のとき
$\hspace{2em} 1T=1 だから (1+1)T=1T+1T=2 \quad \therefore 2T=2$
数学的帰納法をつかって 自然数$n に対して nT=n$ がいえる。
(ii) 負の整数のとき
$\hspace{2em} (-n)T=(0-n)T=0T-nT=0-n=-n$
(iii) 有理数のとき
$\hspace{2em} q=\cfrac{n}{m} に対して qT=\big(\cfrac{n}{m}\big)T=\cfrac{nT}{mT}=\cfrac{n}{m}=q$
以上より $a \in Q ならば aT=a$
次の性質は定義から明らかである。
(i)$自己同型写像 \ S \ は1対1対応だから、Sの逆写像も自己同型写像である。$
(ii)$２つの自己同型写像 \ S,\ T\ の合成を積 \ ST \ とすると、ST \ も自己同型対応である。$
和と積は
$\quad $①$ \quad (a+b)ST=aST+bST \hspace{2em} $ ②$ \quad (ab)ST=(aST)(bST)$
証明
①については
左辺$=\{(a+b)S\}T=(aS+bS)T=(aS)T+(bS)T=aST+bST$
②については
左辺$=\{(ab)S\}T=\{(aS)(bS)\}T=\{(aS)T\}\{(bS)T\}=(aST)(bST)$
$\hspace{2em} 定理3 体\ k\ 上のすべての自己同型写像は合成を積として、群をなす。$
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