関数項無限級数の一様収束
\[区間 \ I\ で定義された関数列 \ \{f_n(x)\} \ の部分和 \ \ S_n(x)=\sum _{i=1}^n f_i(x)\ \ から作られる、関数列 \ \ \{S_n\}\ \ を\] $関数項級数という。$
\[n \longrightarrow \infty \quad のとき \quad \{S_n(x)\}\ \ が収束するならば \quad \sum _{i=1}^{\infty} f_i(x) \ \ は収束するといい、極限関数 \ S(x)\ を和という。\] $とくに、S_n(x) \longrightarrow S(x) \ \ の収束が区間 \ I\ において一様収束であるとき、すなわち$
$\quad 与えられた\ \ \varepsilon > 0\ \ に対して、I\ の任意の \ x\ に対して、$
$\quad n \geqq N \quad ならば \quad |S_n(x)-S(x)| <\varepsilon $
$この \ N\ が \ x\ に無関係に定まるならば、この無限級数は区間 \ I\ で \ S(x)\ に一様収束するという。$
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