項別積分
\[区間 \ I=[a,\ b]\ で定義された関数列 \ \{f_i(x)\} \ \ (i=1,\ 2,\ \cdots )\ \ が連続で、 \sum _{i=1}^{\infty}f_i(x) が \ S(x)\ に一様収束\] \[するならば、区間 \ I\ の任意の \ x\ に対して \quad \sum _{i=1}^{\infty} \int _a^x f_i(t)dt \quad は \quad \int_a^x S(t)dt \quad に一様収束する。\]
$(証明)$
\[S_n=\sum _{i=1}^n f_i(t) , \quad T_n(x)=\sum _{i=1}^n \int _a^x f_i(t)dt \quad とおくと\] \begin{eqnarray*} T_n(x) &=&\int _a^x f_1(t)dt+ \int _a^x f_2(t)dt+ \cdots + \int _a^x f_n(t)dt\\ \\ &=&\int _a^x \{f_1(t) + f_2(t) + \cdots + f_n(t)\}dt\\ \\ &=&\int _a^x \sum _{i=1}^n f_i(t)dt\\ \\ &=&\int _a^x S_n(t)dt\\ \end{eqnarray*}
$S_n(x)がS(x)\ \ に一様収束するから、コーシー列となり、与えられた \varepsilon > 0 に対して x\ に無関係な \ N\ をとり $
$\quad m > n > N \quad ならば \quad |S_m(x)-S_n(x)| <\varepsilon $
$このとき$
\begin{eqnarray*} & &|T_m-T_n|\\ \\ &=&\big|\int_a^x S_m(t)dt - \int_a^x S_n(t)dt\big|\\ \\ &=&\big|\int_a^x \{S_m(t)dt - S_n(t)\}dt\big|\\ \\ &\leqq&\int_a^x |S_m(t)- S_n(t)|dt\\ \\ &\leqq&\int_a^x \varepsilon dt\\ \\ &=&\varepsilon(x-a)\\ \\ &\leqq&\varepsilon(b-a)\\ \\ \end{eqnarray*} \[よって \quad T_n(x)=\sum _{i=1}^n \int _a^x f_i(t)dt \quad はコーシー列だから収束する。\] \[しかも 、区間 \ I\ の任意の \ x\ に無関係だから \quad T_n(x)=\sum _{i=1}^{\infty} \int _a^x f_i(t)dt \ \ は \ \ T(x)=\int_0^x \sum _{i=1}^{\infty}f_i(t)dt \ \ に一様収束する。\] \[とくに 、x=b\ \ とすると \quad \sum _{i=1}^{\infty} \int _a^b f_i(t)dt=\int_0^b \sum _{i=1}^{\infty}f_i(t)dt\] \[これは、\sum _{i=1}^{\infty} と \int _a^b \ \ が交換できることを示している。\] \[ \sum _{i=1}^{\infty} \int _a^b f_i(t)dt\ \ は無限級数の各項f_i(t)ごとに積分してから無限和をとることから項別積分という。\]
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