項別微分
$区間 \ I=[a,\ b]\ で定義された微分可能な関数列 \ \{f_n(x)\} \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots )\ \ を項とする無限級数が収束し、$
$和 \ S(x)\ をもつとする。$
\[\quad (1)\ \ S(x)=\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)\]
$\quad (2)\ \ f_n'(x)\ \ は連続$
\[\quad (3)\ \ \sum_{i=1}^{\infty} f_i'(x) \ \ は一様収束する\]
\[ならば、S(x)\ は微分可能で、S'(x)=\sum_{i=1}^{\infty} f_i'(x) \]
$(注意)$
$これら \ 3\ つの条件は、十分条件であることに注意してください。$
$(証明)$
\[T(x)=\sum_{i=1}^{\infty} f_i'(x) \quad とおくと\] $(3)より \ T(x)\ は一様収束するから項別積分可能で$
\begin{eqnarray*} & &\int_a^xT(t)dt\\ \\ &=&\int_a^x \sum_{i=1}^{\infty} f_i'(t)dt\\ \\ &=&\sum_{i=1}^{\infty} \int_a^x f_i'(t)dt\\ \\ &=&\sum_{i=1}^{\infty} \{f_i(x)-f_i(a)\}\\ \\ &=&S(x)-S(a) \end{eqnarray*}
\[左辺は微分可能だから、右辺も微分可能で \quad S'(x)=T(x)=\sum_{i=1}^{\infty} f_i'(x) \] \[すなわち \quad \cfrac{d}{dx}\sum_{i=1}^{\infty} f_i(x)=\sum_{i=1}^{\infty} \cfrac{d}{dx}f_i(x) が成りたつから \ \ \cfrac{d}{dx} \ \ と \ \ \sum_{i=1}^{\infty} \ \ が交換できることを示している。\] \[ \sum _{i=1}^{\infty} \ \cfrac{d}{dx}f_i(x) \ \ は無限級数の各項 \ f_i(x)\ ごとに微分してから無限和をとることから項別微分という。\]
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