オイラーの定数
$\qquad \gamma=1+\cfrac{1}{2}+ \cdots + \cfrac{1}{n} - \log n \quad は収束する$
$(証明)$
$区間 0 < m < x < m+1 で f(x)= \log x$ について平均値の定理を用いると
$\cfrac{f(m+1)-f(m)}{(m+1)-m}=f'(c) となるcが(m,m+1)$に存在する。
$f'(x) = \cfrac{1}{x}$ だから $\log (m+1)-\log m=\cfrac{1}{c}$
$\cfrac{1}{m+1} < \cfrac{1}{c} < \cfrac{1}{m} より \qquad \cfrac{1}{m+1} < \log (m+1)-\log m < \cfrac{1}{m} \hspace{10em} (1)$
$m=1,2, \cdots ,n-1$ とおいて、片々加えると
$\cfrac{1}{2}+ \cdots + \cfrac{1}{n} < \log n < 1+\cfrac{1}{2}+ \cdots + \cfrac{1}{n-1}$
左辺の不等式に$1$を加えると
$1+ \cfrac{1}{2}+ \cdots + \cfrac{1}{n} < 1+\log n \hspace{26em} (2)$
$a_n=1+ \cfrac{1}{2}+ \cdots + \cfrac{1}{n} -\log n \ , \quad b_n=1+ \cfrac{1}{2}+ \cdots + \cfrac{1}{n-1} -\log n $ とおくと
$(2) より a_n < 1$
$b_{n+1}-b_n = \big(1+ \cfrac{1}{2}+ \cdots + \cfrac{1}{n} - \log (n+1)\big) - \big(1+ \cfrac{1}{2}+ \cdots + \cfrac{1}{n-1} -\log n \big) $
$\hspace{4em} =\cfrac{1}{n} - \log (n+1) + \log n$
$\hspace{4em} >0 \qquad (\quad (1) でm \rightarrow n とおけばよい)$
$b_n$は単調増加で $b_n < a_n <1$ だから上に有界
したがって \[\lim_{n \to \infty} b_n =\gamma \quad (定数)が存在する。\] $a_n=b_n+\cfrac{1}{n}$ だから
\[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n =\gamma \] この定数 $\gamma$ をオイラーの定数といいます。
オイラーの定数の補足
\[\zeta(1)=1+\cfrac{1}{2}+ \cdots + \cfrac{1}{n}\] は調和級数といいますが、これは発散します。
ですから、 $\gamma=\zeta(1)- \log n$ は収束するといってもかなり遅いので、この式から近似値を
求めるのは効率よくありません。他の方法から $0.57721 \cdots $ と計算されています。
また、この数は有理数か無理数かもわかっていません。
おそらく、円周率 $\pi$ や自然対数の底 $e$ のような超越数（代数的数（有理係数の代数方程式の解
となる数）でない数のこと）であろうと考えられています。
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