MY MATH NOTE

包絡線

1　 直線群が通る(通らない)領域

　
$例1$
$直線　y=\cfrac{1}{2}tx-t^2\ \ でtの値を変化させたとき、グラフが$
$通る領域は右図のとおりで、その境界は簡単に求まります。$

$\qquad 2t^2-xt+2y=0 \ \ で\ tは実数だから$
$\qquad D=x^2-16y \geqq 0$
$したがって$
$\qquad y \leqq \cfrac{1}{16}x^2$

　
$例2$
$双曲線　y=\cfrac{1}{x}\ \ 上の任意の点A(t,\cfrac{1}{t})に対し、$
$\qquad P(t,0),\ \ Q(0,\cfrac{1}{t})\ \ とする。$
$tの値を変化させたとき、直線PQが通る領域は右図の通りで、やはり$
$双曲線になりそうですが、次のように求まります。$

$直線PQの方程式は$
$\qquad \cfrac{x}{t}+ty=1 \ \ より$
$\qquad t^2y-t+x=0 \ \ でtは実数だから$
$\qquad D=1-4xy \geqq 0$
$したがって$
$\qquad y \leqq \cfrac{1}{4x}$

2 　包絡線

　
$そこで、包絡線は次のように定義されています。$

$曲線Lが、曲線群C:f(x,y,t)=0 \ \ (tはパラメータ)と、ある点で$
$接するとき、$ LをCの包絡線 $といいます。$

$それでは、曲線群C:f(x,y,t)=0 \ \ が与えられたとき、包絡線Lの$
$求め方について考えましょう。$

$L上の任意の接点をP(x,y)とすると、点PはC上の点でもあるから$
$\qquad f(x,y,t)=0 \hspace{25em}(1)$

$これをxで微分して$

$\qquad \cfrac{\partial f}{\partial x }+ \cfrac{\partial f}{\partial y}\cfrac{dy}{dx} =0 \hspace{23em}(2)$

$接点P(x,y)はパラメータtごとに異なるからtの関数です。$

$よって、\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{\cfrac{dy}{dt}}{\cfrac{dx}{dt}}$

$(2)に代入して$

$\qquad \cfrac{\partial f}{\partial x }\cfrac{dx}{dt}+ \cfrac{\partial f}{\partial y}\cfrac{dy}{dt} =0 \hspace{21em}(3)$

$また、(1)をtで微分すると$

$\qquad \cfrac{\partial f}{\partial x }\cfrac{dx}{dt}+ \cfrac{\partial f}{\partial y}\cfrac{dy}{dt} +\cfrac{\partial f}{\partial t }=0 $

$(3)を代入すると$

$\qquad \cfrac{\partial f}{\partial t }=0 $

$曲線群C:f(x,y,t)=0 \ \ の包絡線Lは$
\[ \left\{ \begin{array}{l} f(x,y,t)=0\\ \cfrac{\partial f}{\partial t }=0 \\ \end{array} \right. \]

3 　中心角が一定な直線がえがく包絡線

　
$単位円周上の2点P,Qの中心角を\alpha (一定)とし、点Pがx軸の$
$正方向となす角を\theta とする。$
$\theta が変化するとき、直線PQの包絡線を求めてみましょう。$

$x_1=\cos \theta,\ \ y_1=\sin \theta,\ \ x_2=\cos (\theta +\alpha ),\ \ y_2=\sin (\theta +\alpha )$
$ とおくと、直線PQの方程式は$

$\quad y-\sin \theta =\cfrac{\sin (\theta + \alpha )-\sin \theta }{\cos (\theta +\alpha )-\cos \theta }(x-\cos \theta )$

$\quad (y-\sin \theta)\{\cos (\theta +\alpha )-\cos \theta \}=(x-\cos \theta )\{\sin (\theta + \alpha )-\sin \theta \} \hspace{10em}(1)$

$両辺を\theta で微分して$

$-\cos \theta \{\cos (\theta +\alpha )-\cos \theta \}+(y-\sin \theta)\{-\sin (\theta +\alpha )+\sin \theta \} =\sin \theta \{\sin (\theta + \alpha )-\sin \theta \} +(x-\cos \theta )\{\cos (\theta + \alpha )-\cos \theta \} $

$-\cos \theta \cos (\theta +\alpha )+\cos ^2 \theta +(y-\sin \theta)\{-\sin (\theta +\alpha )+\sin \theta \}=\sin \theta \sin (\theta + \alpha )-\sin ^2 \theta +(x-\cos \theta )\{\cos (\theta + \alpha )-\cos \theta \} $

$\qquad (y-\sin \theta)\{\sin (\theta +\alpha )-\sin \theta \}+(x-\cos \theta )\{\cos (\theta + \alpha )-\cos \theta \} $
$\qquad =-\{\cos (\theta +\alpha )\cos \theta +\sin (\theta +\alpha ) \sin \theta \}+\cos ^2 \theta +\sin ^2 \theta $
$\qquad =-\cos (\theta +\alpha - \theta) +1$
$\qquad =1-\cos \alpha \hspace{32em}(2)$

$ここで、p=\cos (\theta + \alpha )-\cos \theta ,\ \ q=\sin (\theta +\alpha )-\sin \theta \ \ とおくと$
$(1)は　p(y-\sin \theta )=q(x- \cos \theta )$
$\qquad py-qx=p\sin \theta -q\cos \theta \hspace{26em}(3)$

$(2)は　q(y-\sin \theta )+p(x- \cos \theta )=1-\cos \alpha $
$\qquad qy+px=q\sin \theta +p\cos \theta +1-\cos \alpha \hspace{21em}(4)$

$(3)^2+(4)^2$
$\hspace{3em} (py-qx)^2+(qy+px)^2=(p\sin \theta -q\cos \theta)^2+(q\sin \theta +p\cos \theta +1-\cos \alpha)^2$
\begin{eqnarray*} (p^2+q^2)(x^2+y^2) &=&(p^2+q^2)\sin ^2 \theta +(p^2+q^2)\cos ^2\theta +(1-\cos \alpha )^2+2p(1-\cos \alpha )\cos \theta +2q(1-\cos \alpha )\sin \theta \\ \\ &=&(p^2+q^2) +(1-\cos \alpha )^2+2p(1-\cos \alpha )\cos \theta +2q(1-\cos \alpha )\sin \theta \hspace{8em}(5)\\ \end{eqnarray*} $ここで、$
\begin{eqnarray*} p^2+q^2 &=&\{\cos (\theta +\alpha )-\cos \theta \}^2+\{\sin (\theta +\alpha )-\sin \theta \}^2\\ &=&2-2\{\cos (\theta +\alpha )\cos \theta +\sin (\theta +\alpha )\sin \theta \}\\ &=&2-2\cos ((\theta +\alpha -\theta )\\ &=&2-2\cos \alpha\\ \end{eqnarray*}
$よって(5)は$
$\qquad 2(1-\cos \alpha)(x^2+y^2)=2(1-\cos \alpha)+(1-\cos \alpha )^2+2(1-\cos \alpha )(p\cos \theta +q\sin \theta) \hspace{10em}(6)$

$ここで、$
\begin{eqnarray*} p\cos \theta +q\sin \theta &=&\cos \theta \{\cos (\theta +\alpha )-\cos \theta \}+\sin \theta \{\sin (\theta +\alpha )-\sin \theta \}\\ &=&\cos (\theta +\alpha )\cos \theta +\sin (\theta +\alpha )\sin \theta -1\\ &=&\cos (\theta +\alpha -\theta ) -1\\ &=&-(1-\cos \alpha ) \\ \end{eqnarray*}

　
$よって(6)は$
\begin{eqnarray*} 2(1-\cos \alpha)(x^2+y^2) &=&2(1-\cos \alpha)+(1-\cos \alpha )^2-2(1-\cos \alpha )^2\\ &=&2(1-\cos \alpha)-(1-\cos \alpha )^2\\ \end{eqnarray*} $\qquad \therefore 2(x^2+y^2)=2-(1-\cos \alpha)=1+\cos \alpha $

$\qquad (x^2+y^2)=\cfrac{1}{2}(1+\cos \alpha)=\cos ^2 \cfrac{\alpha}{2}$

$これで、包絡線は、原点中心、半径 \ |\cos \cfrac{\alpha}{2}| \ の円であることがわかりました。$

4 　クレロー(仏　 1713-1765)の微分方程式

　 \begin{eqnarray*} y &=&-\cfrac{a^2C^2}{\sqrt{b^2+a^2C^2}}+\sqrt{b^2+a^2C^2}\\ \\ &=&-\cfrac{-a^2C^2+(b^2+a^2C^2)}{\sqrt{b^2+a^2C^2}}\\ \\ &=&\cfrac{b^2}{\sqrt{b^2+a^2C^2}}\\ \\ \end{eqnarray*} $\qquad \therefore y^2=\cfrac{b^4}{b^2+a^2C^2}$

$したがって$

$\qquad \cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=\cfrac{a^2C^2}{b^2+a^2C^2}+\cfrac{b^2}{b^2+a^2C^2}=1$

$これで、特異解は楕円であることがわかりました。$



　

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