行列式
1 定義
$集合 \ M=\{1,\ 2,\ \cdots ,\ n\}\ の順列 \ (p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n)\ を \ n\ 次の置換といい$
\[\sigma= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & \cdots & n\\ p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \end{array} \right) \quad と表したり、 \] $対応をつかって \quad \sigma(1)=p_1,\ \ \sigma(2)=p_2,\ \ \cdots ,\ \ \sigma(n)=p_n \ \ と表したりします。$
$n\ 次の正方行列 \ \ A=(a_{ij})\ \ の行列式 \ |A|\ は、すべての \ n\ 次の置換の集合を \ S_n \ として$
\[|A|=\sum _{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma)a_{1p_1}a_{2p_2} \cdots a_{np_n}\]
$と定めます。\varepsilon(\sigma) \ は置換 \ \sigma \ の符号ですが、($偶置換と奇置換$)をご覧ください。$\[なお、 \sigma= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & \cdots & n\\ p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \end{array} \right) \quad の逆置換 \quad \sigma ^{-1}= \quad \left( \begin{array}{rrr} p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ 1 & 2 & \cdots & n\\ \end{array} \right) \in S_n \quad で \quad \varepsilon(\sigma ^{-1})=\varepsilon(\sigma) \quad だから\\ \]
\[\quad |A|=\sum _{\sigma ^{-1} \in S_n} \varepsilon(\sigma ^{-1})a_{p_11}a_{p_22} \cdots a_{p_nn} \qquad とすれば、これは列についての定義となります。\]
$行列式の定義はかなり難しいので、具体的に考えていきましょう。$
$(1)\ \ n=2\ \ のとき$
$\quad M=\{1,2\} \ \ の順列は、(1,2),\ (2,1)\ の \ 2\ つありますので、$
\[2次の置換は \quad \sigma _1= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right) \quad \sigma _2= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right) \quad S_2=\{\sigma_1,\ \sigma_2\} \quad \varepsilon(\sigma_1)=1,\quad \varepsilon(\sigma_2)=-1 \quad より \]
$\quad |A|=\varepsilon(\sigma _1)a_{1\sigma_1(1)}a_{2\sigma_1(2)}+\varepsilon(\sigma _2)a_{1\sigma_2(1)}a_{2\sigma_2(2)} =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$
$\quad すなわち$
\[ \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right| =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \]
$(2)\ \ n=3\ \ のとき$
$\quad M=\{1,2,3\} \ \ の順列は、(1,2,3),\ (1,3,2),\ (2,1,3),\ (2,3,1),\ (3,1,2),\ (3,2,1)\ \ の \ 6\ つありますので、$
\[3次の置換は \quad \sigma _1= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\\ \end{array} \right) ,\quad \sigma _2= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2\\ \end{array} \right) =(2\ 3) ,\quad \sigma _3= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3\\ \end{array} \right) =(1\ 2) \]
\[\sigma _4= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\\ \end{array} \right) =(1\ 2\ 3) =(1\ 2)(1\ 3) ,\quad \sigma _5= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2\\ \end{array} \right) =(1\ 3\ 2) =(1\ 3)(1\ 2) ,\quad \sigma _6= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1\\ \end{array} \right) =(1\ 3) \]
$\qquad S_3=\{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4,\sigma_5,\sigma_6\}$
$\qquad \varepsilon(\sigma_1)=1,\quad \varepsilon(\sigma_2)=-1,\quad \varepsilon(\sigma_3)=-1,\quad \varepsilon(\sigma_4)=1,\quad \varepsilon(\sigma_5)=1,\quad \varepsilon(\sigma_6)=-1$
\begin{eqnarray*} |A| &=&\varepsilon(\sigma _1)a_{1\sigma_1(1)}a_{2\sigma_1(2)}a_{3\sigma_1(3)} +\varepsilon(\sigma _2)a_{1\sigma_2(1)}a_{2\sigma_2(2)}a_{3\sigma_2(3)} +\varepsilon(\sigma _3)a_{1\sigma_3(1)}a_{2\sigma_3(2)}a_{3\sigma_3(3)}\\ \\ & &+\varepsilon(\sigma _4)a_{1\sigma_4(1)}a_{2\sigma_4(2)}a_{3\sigma_4(3)} +\varepsilon(\sigma _5)a_{1\sigma_5(1)}a_{2\sigma_5(2)}a_{3\sigma_5(3)} +\varepsilon(\sigma _6)a_{1\sigma_6(1)}a_{2\sigma_6(2)}a_{3\sigma_6(3)}\\ \\ &=&a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}\\ \\ &=&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}\\ \end{eqnarray*}
$\quad すなわち$
\[ \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right| =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}\\ \]
$3次の行列式は、右図のように計算するとわかりやすい。$
$左上から右下に向かう要素の積の符号は \ +$
$右上から左下に向かう要素の積の符号は \ -$
$として全部加えます。$
$この図を「サラスの展開」といいます。$
行列式メニュー に戻る
メインメニュー に戻る