電気通信大学 2025年 問題3
$時刻 \ t\ における座標が \ \ x=\cos 5t,\ \ y=\cos 6t \ \ (0 \leqq t \leqq \pi) \ \ で表される座標平面上の点P\ の運動を考える。$
$点P\ がえがく曲線を \ C\ とする。曲線 \ C\ の概形は下図のようになり、t\ が \ \ 0 \leqq t \leqq \pi \ \ の範囲で動くとき$
$点\ P\ が \ 2\ 回通過する点は \ 10\ 個ある。そのうち \ 3\ 点 \ A,\ B,\ M\ を下図のようにとる。\cos \dfrac{\pi}{5}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}$
$を用いて以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 点\ M\ は \ y\ 軸上の \ y < 0 \ の部分にある。点 \ M\ の \ y\ 座標を、有理数 \ a,\ b\ を用いて \ \ a+b\sqrt{5}\ \ の形で表せ。$
$(2)\ \ 0 \leqq t \leqq \pi \ \ の範囲で次の方程式を解け。 \quad \cos 6t=\cos \dfrac{\pi}{5}$
$(3)\ \ \alpha_1=\dfrac{\pi}{30}\ \ とする。t=\alpha_1\ \ のとき \ \ (\cos 5\alpha_1,\ \cos 6\alpha_1)\ \ は点 \ A\ である。\alpha_1 < \alpha_2 <\pi \ \ をみたすある値 \ \alpha_2 $
$\quad について、t=\alpha_2 \ \ のときも \ \ (\cos 5\alpha_2,\ \cos 6\alpha_2)\ \ が点 \ A\ となる。この値 \ \alpha_2\ を求めよ。$
$(4)\ \ 点\ M\ と第 \ 3\ 象限の点 \ B\ は \ y\ 座標が等しい。点 \ B\ の \ x\ 座標を求めよ。また、直線 \ AB\ の方程式を、$
$\quad 実数 \ m,\ n\ を用いて \ \ y=mx+n \ \ の形で表せ。$
$\hspace{10em}$ 
$設問中の\ \ \cos \dfrac{\pi}{5}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}\ \ の求め方については \ \ ($$\cos \cfrac{2k}{5}\pi の値$$)を参考にしてください。$
$一般に、P(\cos mt,\ \cos nt) \ \ あるいは \ \ P(\sin mt,\ \sin nt) \ \ で表される曲線を「リサージュ図形」といいます。$
(1)
$0 \leqq t \leqq \pi \ \ より \quad 0 \leqq 5t \leqq 5\pi$
$点\ M\ は \ y\ 軸上にあるから \quad x=\cos 5t=0$
$\therefore \ \ 5t=\pm \dfrac{\pi}{2}+2k\pi \ \ (k\ は整数)$
$点P\ が \ 1\ 回目に点M\ を通過するのは \ \ 5t=\dfrac{\pi}{2}\ \ のときだから \quad t=\dfrac{\pi}{10}$
$このとき$
\begin{eqnarray*} y &=&\cos \dfrac{6\pi}{10}\\ \\ &=&\cos \dfrac{3\pi}{5}\\ \\ &=&\cos (\pi-\dfrac{2\pi}{5})\\ \\ &=&-\cos \dfrac{2\pi}{5}\\ \\ &=&-\big(2\cos ^2 \dfrac{\pi}{5}-1\big)\\ \\ &=&-2 \times \big(\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}\big)^2+1\\ \\ &=&-\dfrac{6+2\sqrt{5}}{8}+1\\ \\ &=&\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{5}}{4}\\ \end{eqnarray*}
$確かに \ \ y < 0 \ \ である。$
(2)
$0 \leqq t \leqq \pi \ \ より \quad 0 \leqq 6t \leqq 6\pi$
$\cos 6t=\cos \dfrac{\pi}{5} \ \ の一般解は \quad 6t=\pm \dfrac{\pi}{5}+2k\pi\ \ (k\ は整数)\ \ だから$
$6t=\dfrac{\pi}{5},\ \ \dfrac{9\pi}{5},\ \ \dfrac{11\pi}{5},\ \ \dfrac{19\pi}{5},\ \ \dfrac{21\pi}{5},\ \ \dfrac{29\pi}{5}$
$よって \quad t=\dfrac{\pi}{30},\ \ \dfrac{9\pi}{30},\ \ \dfrac{11\pi}{30},\ \ \dfrac{19\pi}{30},\ \ \dfrac{21\pi}{30},\ \ \dfrac{29\pi}{30}$
$すなわち \quad t=\dfrac{\pi}{30},\ \ \dfrac{3\pi}{10},\ \ \dfrac{11\pi}{30},\ \ \dfrac{19\pi}{30},\ \ \dfrac{7\pi}{10},\ \ \dfrac{29\pi}{30}$
(3)
$t\ が小さい順に\ 2\ 番目は \ y\ 軸上の点で、3\ 番目が再び点A\ を$
$通過する時刻だから \quad t=\dfrac{11\pi}{30} \quad \therefore \ \ \alpha_2=\dfrac{11\pi}{30}$
$なお$
$\cos5\alpha_1=\cos \dfrac{\pi}{6},\qquad \cos5\alpha_2=\cos \dfrac{11\pi}{6}=\cos (2\pi-\dfrac{\pi}{6})=\cos \dfrac{\pi}{6}$
$\cos6\alpha_1=\cos \dfrac{\pi}{5},\qquad \cos6\alpha_2=\cos \dfrac{11\pi}{5}=\cos (2\pi+\dfrac{\pi}{5})=\cos \dfrac{\pi}{5}$
$したがって \quad 点(\cos 5\alpha_2,\ \cos 6\alpha_2)\ \ は \ A(\cos 5\alpha_1,\ \cos 6\alpha_1)\ \ に一致する。$
(4)
$(1)より点P\ が \ 1回目に点M\ を通過するのは \ \ t=\dfrac{\pi}{10}\ \ だから$
$このとき \quad y=\cos \dfrac{6\pi}{10}=\cos \dfrac{3\pi}{5}$
$点P\ の \ y\ 座標が点M\ の \ y\ 座標に等しい点の時刻 \ t\ は$
$y=\cos 6t=\cos \dfrac{3\pi}{5} \ \ より \quad 6t=\pm\dfrac{3\pi}{5}+2k\pi\ \ (k\ は整数)$
$これをみたす \ t\ は \ 6\ つあるが、点B\ の \ t\ は小さい順に \ 2\ 番目だから$
$6t=-\dfrac{3\pi}{5}+2\pi=\dfrac{7\pi}{5} \quad \therefore \ \ t=\dfrac{7\pi}{30}$
$このとき$
$x=\cos \big(5\times \dfrac{7\pi}{30}\big)=\cos \dfrac{7\pi}{6}=\cos (\pi+\dfrac{\pi}{6})=-\cos \dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$よって \quad B(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{-\sqrt{5}+1}{4})$
$また、(3)より 点A\ の座標は$
$\cos5\alpha_1=\cos \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos6\alpha_1=\cos \dfrac{\pi}{5}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}\ \ だから \quad A(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{\sqrt{5}+1}{4})$
$直線 \ AB\ の方程式は$
$y=\dfrac{\dfrac{-\sqrt{5}+1}{4}- \dfrac{\sqrt{5}+1}{4}}{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\big(x- \dfrac{\sqrt{3}}{2})+ \dfrac{\sqrt{5}+1}{4}$
$y=\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}\big(x- \dfrac{\sqrt{3}}{2})+ \dfrac{\sqrt{5}+1}{4}$
$y=\dfrac{\sqrt{15}}{6}x + \dfrac{1}{4}$
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