$\sqrt[3]{m+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{n}} \ \ の形の数$
$\hspace{7em}項目1-3は別ファイルを読み込みます$
4 カルダノの公式
$3次や4次の方程式の解を代数的に求める方法は、ルネサンスといわれる16世紀中頃の$
$イタリアで盛んに研究されていました。$
$とくに、3次方程式の解の公式は、現在カルダノの公式といわれていますが、実際は$
$ニコロ・フォンタナ、通称タルタリアが発見しています。$
$3次方程式 x^3+px^2+qx+r=0 \ \ の解を求めるには、まず \ \ x=y-\cfrac{p}{3} \ \ とおくと$
$(y-\cfrac{p}{3})^3+p(y-\cfrac{p}{3})^2+q(y-\cfrac{p}{3})+r=0$
$y^3+(q-\cfrac{p^2}{3})y+\cfrac{2}{27}p^3-\cfrac{pq}{3}+r=0$
$このようにすると、y^2の項が消えるので,はじめから \ \ x^3+ax+b=0 \ \ を考えれば十分です。$
$x=u+v \ \ とおくと$
$(u+v)^3+a(u+v)+b=0$
$u^3+v^3+3uv(u+v)+a(u+v)+b=0$
$u^3+v^3+(3uv+a)(u+v)+b=0$
$ここで、 3uv+a=0 \ \ をみたす \ u,\ v \ を考えると \quad u^3+v^3=-b,\quad uv=-\cfrac{a}{3}$
$u^3 ,v^3 は t^2+bt-(\cfrac{a}{3})^3=0 \ \ の解です。これを元の3次方程式の補助方程式といいます。$
$この2つの解 \quad t=-\cfrac{b}{2} \pm \sqrt{\big(\cfrac{b}{2}\big)^2+\big(\cfrac{a}{3}\big)^3}\ \ をA,\ B \ とします。$
$\quad u^3=A \ \ より u=\sqrt[3]{A},\ \ \omega \sqrt[3]{A},\ \ \omega ^2\sqrt[3]{A}$
$\quad v^3=B \ \ より v=\sqrt[3]{B},\ \ \omega \sqrt[3]{B},\ \ \omega ^2\sqrt[3]{B}$
$\qquad ただし \ \ \omega \ は \ \ \omega ^3=1 \ \ を満たす虚数解の一つです。$
$なお、A,\ B\ は実数でも虚数でもかまいませんが、これは実数とした記述です。$
$虚数については2で説明してありますが、\sqrt[3]{A}\ \ で3つの3乗根を表します。$
$これらの9通りの組合わせが解になるのではなく、uv=-\cfrac{a}{3}(実数) \ \ という条件が$
$ありますので、組合わせは$
$\qquad (u,v)=(\sqrt[3]{A},\ \ \sqrt[3]{B}),\ \ (\omega \sqrt[3]{A},\ \ \omega ^2\sqrt[3]{B}),\ \ (\omega ^2\sqrt[3]{A},\ \ \omega \sqrt[3]{B}) \ \ の3通りです。$
$x=u+v \ \ とおきましたから、3次方程式の解 \ \alpha , \ \beta,\ \gamma \ \ は$
$\quad \alpha =\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}=\sqrt[3]{-\cfrac{b}{2} + \sqrt{\big(\cfrac{b}{2}\big)^2+\big(\cfrac{a}{3}\big)^3}} +\sqrt[3]{-\cfrac{b}{2} - \sqrt{\big(\cfrac{b}{2}\big)^2+\big(\cfrac{a}{3}\big)^3}}$
$\quad \beta =\omega \sqrt[3]{A}+\omega ^2\sqrt[3]{B}=\omega \sqrt[3]{-\cfrac{b}{2} + \sqrt{\big(\cfrac{b}{2}\big)^2+\big(\cfrac{a}{3}\big)^3}} +\omega ^2\sqrt[3]{-\cfrac{b}{2} - \sqrt{\big(\cfrac{b}{2}\big)^2+\big(\cfrac{a}{3}\big)^3}}$
$\quad \gamma =\omega ^2 \sqrt[3]{A}+\omega \sqrt[3]{B}=\omega ^2\sqrt[3]{-\cfrac{b}{2} + \sqrt{\big(\cfrac{b}{2}\big)^2+\big(\cfrac{a}{3}\big)^3}} +\omega \sqrt[3]{-\cfrac{b}{2} - \sqrt{\big(\cfrac{b}{2}\big)^2+\big(\cfrac{a}{3}\big)^3}}$
$これが、x^3+ax+b=0 \ \ の解を与えるカルダノの公式です。$
$なお、x^3+ax=b \ (a>0,\ b>0) \ の形の3次方程式の解の公式は、カルダノより前に、$
$デル・フェッロが発見しています。$
$m=-\cfrac{b}{2},\ \ n=\big(\cfrac{b}{2}\big)^2+\big(\cfrac{a}{3}\big)^3\ \ とおくと$
$\alpha =\sqrt[3]{m+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{n}} \ \ となり、これがタイトルの式の正体です。$
5 虚数がはじめて意識された3次方程式
$虚数が歴史的にはじめて意識されたのは2次方程式ではなく、3次方程式でした。$
$では、その方程式を見ていきましょう。$
$\quad x^3-15x-4=0 \ \ は \ \ (x-4)(x^2+4x+1)=0 \ \ と因数分解されますから、$
$\quad 解は \ \ x=4,\ \ -2 \pm \sqrt{3} \ \ です。$
$これをカルダノの公式で求めてみると、解の1つは$
$\quad \alpha =\sqrt[3]{2+\sqrt{2^2+(-5)^3}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{2^2+(-5)^3}}=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$
$当時はだいぶ当惑したようです。カルダノの弟子のボムベリは、この立方根が \ \ 2 \pm \sqrt{-1}$
$となることに気づきました。$
$確かに$
\begin{eqnarray*} (2 + \sqrt{-1})^3 &=&8+12\sqrt{-1}+6\sqrt{-1}^2+\sqrt{-1}^3\\ &=&8+12\sqrt{-1}-6-\sqrt{-1}\\ &=&2+11\sqrt{-1}\\ &=&2+\sqrt{-121}\\ \end{eqnarray*} $となります。同様にして \quad (2 - \sqrt{-1})^3 =2-\sqrt{-121} \ \ ですから$
$\quad \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}} =(2+\sqrt{-1})+(2-\sqrt{-1})=4$
$となって、因数分解から求めた解の1つに一致しました。$
$こうして、負の数の平方根は、その実態がよくわからないまま、便利であることが認められ$
$ました。虚数は18世紀のオイラーやガウスにつながりますが、それまではこれ以上の発展は$
$ありませんでした。$
$カルダノの公式は、解を求めることができるすばらしいアイテムではありますが$
$\qquad \sqrt[3]{m+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{n}}$
$の形の数で表されますから、それが直ちに簡単な数で表現できるかどうかは別問題です。$
6 補助方程式の解との関係
$3次方程式には、一般に解が3個ありますので、$
$\quad $(i)$\ \ 実数解が1個と共役な虚数解が2個$
$\quad $(ii)$\ \ 実数解が3個$
$の2通りの場合があります。$
$カルダノの公式を導く補助方程式 \quad t^2+bt-(\cfrac{a}{3})^3=0 \ \ の解$
$\quad t=-\cfrac{b}{2} \pm \sqrt{\big(\cfrac{b}{2}\big)^2+\big(\cfrac{a}{3}\big)^3}\ \ で、m=-\cfrac{b}{2},\ \ n=\big(\cfrac{b}{2}\big)^2+\big(\cfrac{a}{3}\big)^3\ \ とおきます。$
$(1)\ n > 0 \ \ のとき$
$\quad 補助方程式は異なる2つの実数解 \ A,\ \ B をもつので、カルダノの公式から求めた解 \ \alpha,\ \ \beta,\ \ \gamma は$
$\omega \ と\ \omega ^2 \ が互いに共役数な複素数であることに注意して$
$\quad \beta =\omega \sqrt[3]{A}+\omega ^2\sqrt[3]{B} \ \ の共役数は、\quad \overline{\beta}=\overline{\omega} \sqrt[3]{A}+\overline{\omega ^2}\sqrt[3]{B}=\omega ^2 \sqrt[3]{A}+\omega \sqrt[3]{B}=\gamma $
$となり、\beta \ と \ \gamma \ \ は互いに共役な複素数です。$
$したがって、\alpha =\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B} のみが実数解となり,$
$元の3次方程式は1つの実数解と2つの共役な虚数解をもちます。$
$(2)\ n <0 \ \ のとき$
$まず、z=a+bi \ \ の3乗根について、共役な複素数を考えましょう。$
$\qquad 定理 a,\ b \ \ が実数のとき、\sqrt[3]{a+bi}\ \ の共役数は \ \ \sqrt[3]{a-bi}$
$\sqrt[3]{a+bi}=p+qi\ \ (p,q は実数)\ \ とおくと$
$\quad a+bi=(p+qi)^3=(p^3-3pq^2)+i(3p^2q-q^3)$
$両辺の共役な複素数をとって$
$\quad a-bi=(p^3-3pq^2)-i(3p^2q-q^3)=p^3+3p^2(-qi)+3p(-qi)^2+(-qi)^3=(p-qi)^3$
$p-qi=\sqrt[3]{a-bi} \ \ だから \quad \overline{\sqrt[3]{a+bi}}=\sqrt[3]{a-bi}$
$補助方程式は共役な2つの虚数解 \ A,\ \ B をもつので、 \overline{A}=B,\ \ \overline{B}=A \ \ に上の定理をつかって$
$\alpha =\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B} \ \ の共役数は \quad \overline{\alpha }=\overline{\sqrt[3]{A}}+\overline{\sqrt[3]{B}}=\sqrt[3]{B}+\sqrt[3]{A}=\alpha $
$\beta =\omega \sqrt[3]{A}+\omega ^2\sqrt[3]{B} \ \ の共役数は \quad \overline{\beta}=\overline{\omega} \overline{\sqrt[3]{A}}+\overline{\omega ^2}\overline{\sqrt[3]{B}}=\omega ^2 \sqrt[3]{B}+\omega \sqrt[3]{A}=\beta $
$\gamma \ も同様です。したがって \quad \alpha ,\ \ \beta ,\ \ \gamma \ \ はすべて実数となり、$
$元の3次方程式は3つの実数解をもちます。$
$まとめますと$
$\alpha =\sqrt[3]{m+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{n}} \ \ を解にもつ3次方程式の他の解\beta, \ \ \gamma \ \ は$
$\quad (1)\ \ n > 0 \ \ のとき、\alpha のみが実数解で、\beta,\ \ \gamma \ \ は共役な虚数解$
$\quad (2)\ \ n < 0 \ \ のとき、\alpha ,\ \ \beta,\ \ \gamma \ \ 3つとも実数解$
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