$\sqrt[3]{m+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{n}} \ の形の数$
$\hspace{7em}項目4-6は別ファイルを読み込みます$
１ $\sqrt[3]{m+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{n}} \ \ $で$n$が正の場合
$\qquad a=\cfrac{28}{27} \ \ のとき、\alpha =\sqrt[3]{1+\sqrt{a}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{a}} \ \ は整数であることを示し、それを求めよ。$
$\hspace{10em}(大阪教育大学の過去問ですが、問題の表現を少し変えてあります。)$
$解答$
$p=\sqrt[3]{1+\sqrt{a}},\ q=\sqrt[3]{1-\sqrt{a}} \ \ とおく。明らかにp,\ q は実数である。$
$p^3q^3=(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a})=1-a=-\cfrac{1}{27} \quad \therefore pq=-\cfrac{1}{3}$
$p^3+q^3=(1+\sqrt{a})+(1-\sqrt{a})=2$
$また \qquad p^3+q^3=(p+q)^3-3pq(p+q) \ \ だから \ \ 2=\alpha ^3 +\alpha $
$\therefore \alpha ^3 +\alpha -2=0$
$明らかに \alpha =1 \ \ は解だから 左辺の3次式は \ \ \alpha -1 \ \ を因数にもつ。割り算をおこなって$
$(\alpha -1)(\alpha ^2 +\alpha +2)=0$
$\alpha ^2 +\alpha +2=0 \ \ の解は虚数であるから \alpha =1$
$よって、\sqrt[3]{1+\sqrt{a}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{a}}=1$
$この形の数が整数になるとは少し驚きですが、さらに$
$\quad $(i)$\ \ \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$
$\quad $(ii)$\ \ \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$
$も整数になります。同じようにやってみてください。答えは、$(i)$\ が1、$(ii)$\ が２です。$
2 複素数のn乗根
$複素数zに対し、w^n=z \ \ をみたすwをzのn乗根といい、\sqrt[n]{z}\ \ とかきます。$
$\quad z=r(\cos \theta +i\sin \theta),\quad w=R(\cos \tau +i\sin \tau) \ \ と極形式で表すと$
$\quad R^n(\cos n\tau +i\sin n\tau)=r(\cos \theta +i\sin \theta) \ \ より$
$\quad R^n=r,\quad n\tau =\theta +2k\pi \quad (kは整数)$
$\therefore R=\sqrt[n]{r},\quad \tau =\cfrac{\theta +2k\pi}{n}$
$このように、複素数zのn乗根はn個ありますが、\sqrt[n]{z}\ でn個すべてを表します。$
$\quad z=r(\cos \theta +i\sin \theta) \ \ のとき \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left\{\cos (\cfrac{\theta}{n}+\cfrac{2k\pi}{n})+i\sin (\cfrac{\theta}{n}+\cfrac{2k\pi}{n})\right\} \ \ (kは整数)$
3 $\sqrt[3]{m+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{n}} \ \ $の形の数で$n$が負の場合
$問題 \ \ \alpha =\sqrt[3]{-2+2i}+\sqrt[3]{-2-2i} \ \ はどのような数か考えましょう$
$解法1 \quad \alpha を解にもつ3次方程式を求める方法$
$p=\sqrt[3]{-2+2i},\ \ q=\sqrt[3]{-2-2i} \ \ とおくと$
$p^3q^3=(-2+2i)(-2-2i)=8 \ \ より pq=2,\ 2\omega,\ 2\omega ^2$
$p^3+q^3=(-2+2i)+(-2-2i)=-4 \ \ だから \ \ (p+q)^3-3pq(p+q)=p^3+q^3 \ \ より$
$(p+q)^3-3pq(p+q)+4=0$
$\quad $(i)$\ \ pq=2 のとき \qquad \alpha ^3-6\alpha +4=0$
$\quad $(ii)$\ \ pq=2\omega のとき \qquad \alpha ^3-6\omega \alpha +4=0 \qquad (\omega \alpha) ^3-6(\omega \alpha) +4=0$
$\quad $(iii)$\ \ pq=2\omega ^2 のとき \qquad \alpha ^3-6\omega ^2 \alpha +4=0 \qquad (\omega ^2 \alpha) ^3-6(\omega ^2\alpha) +4=0$
$よって、pq の値にかかわらず、p+q \ \ は x^3-6x+4=0 \ \ の解であるから$
$(x-2)(x^2+2x-2)=0 \ \ と因数分解して、x=2,\ \ -1 \pm \sqrt{3} \ \ より$
$\quad \alpha=2,\ \ -1 \pm \sqrt{3} $
$方法2 \quad 極形式を用いる方法$
$\quad (1)\ \ -2+2i=2\sqrt{2}\big(-\cfrac{1}{\sqrt{2}}+\cfrac{1}{\sqrt{2}}i\big)=(\sqrt{2})^3(\cos \cfrac{3}{4}\pi+i\sin\cfrac{3}{4}\pi)\ \ より$
$\qquad p_1=\sqrt{2}(\cos \cfrac{1}{4}\pi+i\sin\cfrac{1}{4}\pi)=\sqrt{2}\big(\cfrac{1}{\sqrt{2}}+\cfrac{1}{\sqrt{2}}i\big)=1+i$
$\quad p_2,p_3 を求めるには、加法定理を用いて$
$\qquad \cos (\cfrac{1}{4}\pi+\cfrac{2}{3}\pi)=\cfrac{\sqrt{2}}{2} \times (-\cfrac{1}{2})-\cfrac{\sqrt{2}}{2} \times \cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
$\qquad \sin (\cfrac{1}{4}\pi+\cfrac{2}{3}\pi)=\cfrac{\sqrt{2}}{2} \times (-\cfrac{1}{2})+\cfrac{\sqrt{2}}{2} \times \cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$
$\qquad \cos (\cfrac{1}{4}\pi+\cfrac{4}{3}\pi)=\cfrac{\sqrt{2}}{2} \times (-\cfrac{1}{2})-\cfrac{\sqrt{2}}{2} \times (-\cfrac{\sqrt{3}}{2})=\cfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$
$\qquad \sin (\cfrac{1}{4}\pi+\cfrac{4}{3}\pi)=\cfrac{\sqrt{2}}{2} \times (-\cfrac{1}{2})+\cfrac{\sqrt{2}}{2} \times (-\cfrac{\sqrt{3}}{2})=\cfrac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
$したがって$
$p_2=\sqrt{2}(\cos (\cfrac{1}{4}\pi+\cfrac{2}{3}\pi)+i\sin(\cfrac{1}{4}\pi+\cfrac{2}{3}\pi)=\sqrt{2}\big(\cfrac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}+i\cfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\big)=\cfrac{-1-\sqrt{3}}{2}+i\cfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$
$p_3=\sqrt{2}(\cos (\cfrac{1}{4}\pi+\cfrac{4}{3}\pi)+i\sin(\cfrac{1}{4}\pi+\cfrac{4}{3}\pi)=\sqrt{2}\big(\cfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}+i\cfrac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\big)=\cfrac{-1+\sqrt{3}}{2}+i\cfrac{-1-\sqrt{3}}{2}$
$\quad (2)\ \ -2-2i \ \ については共役な複素数だから$
$q_1=1-i$
$q_2=\cfrac{-1-\sqrt{3}}{2}-i\cfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$
$q_3=\cfrac{-1+\sqrt{3}}{2}-i\cfrac{-1-\sqrt{3}}{2}$
$よって$
$p_1+q_1=(1+i)+(1-i)=2$
$p_2+q_2=(\cfrac{-1-\sqrt{3}}{2}+i\cfrac{-1+\sqrt{3}}{2})+(\cfrac{-1-\sqrt{3}}{2}-i\cfrac{-1+\sqrt{3}}{2})=-1-\sqrt{3}$
$p_3+q_3=(\cfrac{-1+\sqrt{3}}{2}+i\cfrac{-1-\sqrt{3}}{2})+(\cfrac{-1+\sqrt{3}}{2}-i\cfrac{-1-\sqrt{3}}{2})=-1+\sqrt{3}$
$方法３ \quad 直接求める方法$
$\sqrt[3]{-2+2i}=a+bi \ \ (a,b は実数)\ とおくと$
$-2+2i=a^3-3ab^2+(3a^2b-b^3)i$
\[ \left\{ \begin{array}{l} a^3-3ab^2=-2 \hspace{8em}(1)\\ 3a^2b-b^3=2 \hspace{9em}(2)\\ \end{array} \right. \] $(1)^2+(2)^2\ \ をとって$
$(a^3-3ab^2)^2+ (3a^2b-b^3)^2=8$
$a^6-6a^4b^2+9a^2b^4+9a^4b^2-6a^2b^4+b^6=8$
$a^6+3a^4b^2+3a^2b^4+b^6=8$
$(a^2+b^2)^3=8$
$\therefore a^2+b^2=2$
$b^2=2-a^2 \quad を(1)に代入して$
$a^3-3a(2-a^2)=-2$
$2a^3-3a+1=0$
$(a-1)(2a^2+2a-1)=0$
$\therefore a=1,\cfrac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$
$\sqrt[3]{-2-2i}=a-bi \ \ だから$
$\sqrt[3]{-2+2i}+\sqrt[3]{-2-2i}=2a=2,\ \ -1 \pm \sqrt{3}$
$このように \sqrt[3]{m+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{n}} \ \ の形で表された数は何か特別な数であるような感じがしませんか。$
$実は、3次方程式をカルダノの公式をつかって解くと、このような奇妙な形の整数が出てくるのです。$
$次に、このあたりのことを詳しくみていきましょう。$
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