複素数列の収束条件


$定理 \ 1$
$\quad \alpha_n=a_n+ib_n \ \ (a_n,\ b_n\ は実数列)\ で定まる複素数列 \ \{\alpha_n\}\ が \ \alpha_0=a_0+ib_0\ に収束する条件は$
$\quad \{a_n\},\{b_n\}\ がそれぞれ \ a_0,\ b_0\ に収束することである。$


$(証明)$

$\quad |\alpha_n-\alpha_0|=|(a_n+ib_n)-(a_0+ib_0)|=|(a_n-a_0)+i(b_n-b_0)|=\sqrt{(a_n-a_0)^2+(b_n-b_0)^2}\quad だから$

$必要条件$

$\quad |\alpha_n-\alpha_0| \geqq \sqrt{(a_n-a_0)^2}=|a_n-a_0|$

$\quad |\alpha_n-\alpha_0| \geqq \sqrt{(b_n-b_0)^2}=|b_n-b_0|$

$\quad したがって$

$\qquad \alpha_n \rightarrow \alpha_0 \quad ならば \quad a_n \rightarrow a_0,\quad b_n \rightarrow b_0$

$十分条件$

$\quad 一般に、\sqrt{a^2+b^2} \leqq |a|+|b| \quad だから$

$\quad |\alpha_n-\alpha_0|=\sqrt{(a_n-a_0)^2+(b_n-b_0)^2} \leqq |a_n-a_0|+|b_n-b_0|$

$\quad したがって$

$\qquad a_n \rightarrow a_0,\quad b_n \rightarrow b_0 \quad ならば \quad 　\alpha_n \rightarrow \alpha_0 $


$定理 \ 2$
$\quad 複素数列 \ \ 1,\ \alpha ,\ \alpha ^2,\ \cdots , \ \alpha ^n , \ \cdots \ \ (\alpha は定数)\ \ において$
$\qquad |\alpha |<1 \quad ならば \quad \alpha ^n \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty)$


$(証明)$

$\alpha を極形式 \qquad \alpha=r(\cos \theta +i\sin \theta)\ \ で表すと$

$\quad |\alpha|=r$

$\quad \alpha ^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)=r^n\cos n\theta+i\ r^n\sin n\theta $

$\quad |r^n\cos n\theta| \leqq r^n, \qquad |r^n\sin n\theta| \leqq r^n \quad だから$

$|\alpha| < 1 \quad ならば \quad 0 < r < 1 \quad より　\quad r^n \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty)$

$したがって \quad r^n\cos n\theta \rightarrow 0,\quad r^n\sin n\theta \rightarrow 0$

$よって、定理1より \quad \alpha ^n \rightarrow 0$



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