複素数体に同型な行列



$複素数 \ a+bi \ は複素数平面(ガウス平面)では \ (a,\ b) \ と2次元ベクトル空間で表されますが、ここでは$
\[ a+bi = \left( \begin{array}{r} a\\ b\\ \end{array} \right) \] $と表すことにします。$

$複素数Cから複素数Cへの変換　\phi_\alpha:C \quad \longleftrightarrow \quad C \quad として \quad \phi_\alpha (z)=\alpha z \quad (\alpha \in C) \quad を考えます。$

$複素数は2次元ベクトル空間ですから、1次独立な基底は \ 1\ と \ i\ の2つありますが$
\[ \left( \begin{array}{r} 1\\ 0\\ \end{array} \right) \quad と\quad \left( \begin{array}{r} 1\\ 0\\ \end{array} \right) \quad の変換先が決まれば十分です。\] $\quad (この対応については($置換の変換群$)を参照してください。)$


(i)$\ \ \phi_1 \ \ は　z \quad \longleftrightarrow \quad z \quad だから \quad 1 \quad \longleftrightarrow \quad 1,\hspace{3em} i \quad \longleftrightarrow \quad i$

$\quad よって$
\[ \left( \begin{array}{r} 1\\ 0\\ \end{array} \right) \quad \longleftrightarrow \quad \left( \begin{array}{r} 1\\ 0\\ \end{array} \right) , \hspace{3em} \left( \begin{array}{r} 0\\ 1\\ \end{array} \right) \quad \longleftrightarrow \quad \left( \begin{array}{r} 0\\ 1\\ \end{array} \right) \] $\quad したがって$
\[ \alpha =1 \quad には \quad \left( \begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{array} \right) \quad が対応します。 \]

(ii)$\ \ \phi_i \ \ は　z \quad \longleftrightarrow \quad iz \quad だから \quad 1 \quad \longleftrightarrow \quad i,\hspace{3em} i \quad \longleftrightarrow \quad -1$

$\quad よって$
\[ \left( \begin{array}{r} 1\\ 0\\ \end{array} \right) \longleftrightarrow \left( \begin{array}{r} 0\\ 1\\ \end{array} \right) , \hspace{3em} \left( \begin{array}{r} 0\\ 1\\ \end{array} \right) \longleftrightarrow \left( \begin{array}{r} -1\\ 0\\ \end{array} \right) \] $\quad したがって$
\[ \alpha =i \quad には \quad \left( \begin{array}{rr} 0 & -1\\ 1 & 0\\ \end{array} \right) \quad が対応します。 \] $\quad このとき$
\[ i^2 \quad \longleftrightarrow \quad \left( \begin{array}{rr} 0 & -1\\ 1 & 0\\ \end{array} \right)^2 = \left( \begin{array}{rr} -1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{array} \right) =-E \] $\quad となって、i^2\ が \ -E\ \ (Eは単位行列)\ に対応することがわかります。$


$\phi_\alpha (z)=\alpha z\ \ (\alpha \in C)\ \ について$

$\quad $(i)$\ \ \phi_{k\alpha }(z)=(k\alpha )z=k(\alpha z)=k\phi_\alpha(z)$

$\quad $(ii)$\ \ \phi_{\alpha +\beta }(z)=(\alpha +\beta)z=\alpha z+\beta z=\phi_\alpha (z)+\phi_\beta (z)$

$が成りたつから$
\[ 1 \quad \longleftrightarrow \quad \left( \begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{array} \right) \quad より \quad a \quad \longleftrightarrow \quad \left( \begin{array}{rr} a & 0\\ 0 & a\\ \end{array} \right) ,\qquad i \quad \longleftrightarrow \quad \left( \begin{array}{rr} 0 & -1\\ 1 & 0\\ \end{array} \right) \quad より \quad bi \quad \longleftrightarrow \quad \left( \begin{array}{rr} 0 & -b\\ b & 0\\ \end{array} \right) \] $よって$
\[ a+bi \quad \longleftrightarrow \quad \left( \begin{array}{rr} a & 0\\ 0 & a\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{rr} 0 & -b\\ b & 0\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} a & -b\\ b & a\\ \end{array} \right) \] $となります。これが複素数の行列表示です。$

\[ 集合　M=\left\{ \left( \begin{array}{rr} a & -b\\ b & a\\ \end{array} \right) |D =a^2+b^2 \ne 0 \right \} の元について \] $P,Q \in M とすると$
\[ P=\left( \begin{array}{rr} a & -b\\ b & a\\ \end{array} \right) ,\quad Q=\left( \begin{array}{rr} c & -d\\ d & c\\ \end{array} \right) \] $このとき$

$(1)\ \ 積$
\[ PQ=\left( \begin{array}{rr} a & -b\\ b & a\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} c & -d\\ d & c\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} ac-bd & -(ad+bc)\\ ad+bc & ac-bd\\ \end{array} \right) \in M \] $\quad また$
\[ QP=\left( \begin{array}{rr} c & -d\\ d & c\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} a & -b\\ b & a\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} ac-bd & -(ad+bc)\\ ad+bc & ac-bd\\ \end{array} \right) \in M \]
$\quad よって、PQ=QP (可換)$


$(2)\ \ 逆元$

$\hspace{3em} (a+bi)^{-1}=\cfrac{1}{a+bi}=\cfrac{a}{a^2+b^2}-\cfrac{b}{a^2+b^2}i$

\[ \left( \begin{array}{rr} a & -b\\ b & a\\ \end{array} \right)^{-1} = \cfrac{1}{a^2+b^2} \left( \begin{array}{rr} a & b\\ -b & a\\ \end{array} \right)^{-1} = \left( \begin{array}{rr} \small{\dfrac{a}{a^2+b^2}} & -\small{-\dfrac{b}{a^2+b^2}}\\ -\small{\dfrac{b}{a^2+b^2}} & \small{\dfrac{a}{a^2+b^2}}\\ \end{array} \right) \] $\quad したがって$
\[ (a+bi)^{-1} \longleftrightarrow \left( \begin{array}{rr} a & -b\\ b & a\\ \end{array} \right)^{-1} \]

$これで、CとMは同型であることがわかりました。$



　

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