5 χ2乗分布の再生性
$2つの確率変数X_1,X_2が互いに独立に自由度n_1,n_2のχ^2分布にしたがうとき U=X_1+X_2 で定まる$
$確率変数Uの確率密度関数f_U(x)を求めましょう。$
$f_1,f_2の密度関数をそれぞれ f_1(x),f_2(x) \ とおく。ただし x > 0$
$\quad f_1(x)=\cfrac{1}{2^{\small \dfrac{n_1}{2}}\Gamma(\dfrac{n_1}{2})} x^{\small{\dfrac{n_1-2}{2}}}e^{\small{-\dfrac{x}{2}}} \ \ ,\qquad f_2(x)=\cfrac{1}{2^{\small \dfrac{n_2}{2}}\Gamma(\dfrac{n_2}{2})} x^{\small{\dfrac{n_2-2}{2}}}e^{\small{-\dfrac{x}{2}}} $
$Uの密度関数はf_1(x)とf_2(x)の合成積だから$
\begin{eqnarray*} f_U(x) &=&\int _0^x f_1(y)f_2(x-y)dy\\ \\ &=&\int _0^x \cfrac{1}{2^{\small \dfrac{n_1}{2}}\Gamma(\dfrac{n_1}{2})} y^{\small{\dfrac{n_1-2}{2}}}e^{\small{-\dfrac{y}{2}}} \times \cfrac{1}{2^{\small \dfrac{n_2}{2}}\Gamma(\dfrac{n_2}{2})} (x-y)^{\small{\dfrac{n_2-2}{2}}}e^{\small{-\dfrac{x-y}{2}}} dy\\ \\ &=&\cfrac{e^{\small{-\dfrac{x}{2} } } }{2^{\small {\dfrac{n_1+n_2}{2} }} \Gamma(\dfrac{n_1}{2})\Gamma(\dfrac{n_2}{2}) } \int _0^x y^{\small{\dfrac{n_1-2}{2}}} (x-y)^{\small{\dfrac{n_2-2}{2}}}dy\\ \end{eqnarray*}
$積分項は y=xu \ \ と変数変換すると dy=xdu $
\begin{eqnarray*} I &=&\int _0^1 (xu)^{\small{\dfrac{n_1-2}{2}}} (x-xu)^{\small{\dfrac{n_2-2}{2}}}xdu\\\ \\ &=&\int _0^1 x^{\small{\dfrac{n_1-2}{2}+\dfrac{n_2-2}{2}}+\large{1}} u^{\small{\dfrac{n_1-2}{2}}} (1-u)^{\small{\dfrac{n_2-2}{2}}}du\\ \\ &=& x^{\small{\dfrac{n_1+n_2-2}{2}}} \int _0^1 u^{\small{\dfrac{n_1-2}{2}}} (1-u)^{\small{\dfrac{n_2-2}{2}}}du\\ \\ &=& x^{\small{\dfrac{n_1+n_2-2}{2}}} B(\cfrac{n_1}{2},\cfrac{n_2}{2})\\ \\ &=&\cfrac{\Gamma(\dfrac{n_1}{2}) \Gamma(\dfrac{n_2}{2}) } {\Gamma(\dfrac{n_1+n_2}{2}) } \ x^{\small{\dfrac{n_1+n_2-2}{2}}} \\ \end{eqnarray*} $よって$
\begin{eqnarray*} f_U(x) &=&\cfrac{e^{\small{-\dfrac{x}{2} } } }{2^{\small {\dfrac{n_1+n_2}{2} }} \Gamma(\dfrac{n_1}{2})\Gamma(\dfrac{n_2}{2}) } \times \cfrac{\Gamma(\dfrac{n_1}{2}) \Gamma(\dfrac{n_2}{2}) } {\Gamma(\dfrac{n_1+n_2}{2}) }\ x^{\small{\dfrac{n_1+n_2-2}{2}}} \\ \\ &=&\cfrac{1}{2^{\small {\dfrac{n_1+n_2}{2} }} \Gamma(\dfrac{n_1+n_2}{2}) } \ x^{\small{\dfrac{n_1+n_2-2}{2}}} e^{\small{-\dfrac{x}{2} } }\\ \end{eqnarray*}
$これは、自由度n_1+n_2 の \chi ^2 分布であるから、\chi _{n_1}^2 + \chi _{n_2}^2 =\chi _{n_1+n_2}^2 \ \ が成りたつ。$
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