4 χ2乗分布が確率密度関数になること
(i) $f_n(x) > 0 は明らか。$
(ii) \[\int _0^\infty f_n(x)dx=\int _0^\infty \cfrac{1}{2^{\small \dfrac{n}{2}}\Gamma(\dfrac{n}{2})} x^{\small{\dfrac{n-2}{2}}}e^{\small{-\dfrac{x}{2}}}dx=1 \ \ については\] $\quad \cfrac{x}{2}=u \ \ とおくと$
\begin{eqnarray*} I &=&\cfrac{1}{2^{\small \dfrac{n}{2}}\Gamma(\dfrac{n}{2})}\int _0^\infty (2u)^{\small{\dfrac{n-2}{2}}}e^{-u} \ 2du\\ \\ &=&\cfrac{1}{2^{\small \dfrac{n}{2}}\Gamma(\dfrac{n}{2})} \times 2^{\small \dfrac{n}{2}} \int _0^\infty u^{\small{\dfrac{n-2}{2}}}e^{-u}du\\ \\ &=&\cfrac{1}{\Gamma(\dfrac{n}{2})}\int _0^\infty u^{\small{\dfrac{n-2}{2}}}e^{-u} du\\ \\ &=&\cfrac{1}{\Gamma(\dfrac{n}{2})} \times \Gamma(\dfrac{n}{2})\\ \\ &=&1\\ \end{eqnarray*}
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