1　 自由度1のχ2乗分布


$確率変数Xが標準正規分布N(0,1)にしたがうとき \ Y=X^2 \ で定まる確率変数Yの確率密度関数を求めましょう。$

$Xの密度関数は　f_X(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\small{\dfrac{x^2}{2}} } \ \ だから$
$Yの分布関数　F_Y(y)は$
\begin{eqnarray*} F_Y(y) &=&P(Y \leqq y)\\ \\ &=&P(X^2 \leqq y)\\ \\ &=&P(-\sqrt{y} \leqq X \leqq \sqrt{y})\\ \\ &=&\int _{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}f_X(x)dx\\ \\ &=&\int _{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\small{\dfrac{x^2}{2}}}dx\\ \\ &=&2\int _0^{\sqrt{y}}\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\small{\dfrac{x^2}{2}}}dx\\ \end{eqnarray*} $x^2=u \ \ と変数変換すると　2xdx=du \quad dx=\cfrac{du}{2x}=\cfrac{du}{2\sqrt{u}}$
\begin{eqnarray*} F_Y(y) &=&2\int _0^y \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\small{\dfrac{u}{2}}}\cfrac{du}{2\sqrt{u}}\\ \\ &=&\int _0^y \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}u^{-\small{\dfrac{1}{2}}}e^{-\small{\dfrac{u}{2}}}du\\ \end{eqnarray*}

　
$ゆえにYの密度関数は　f_Y(u)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}u^{-\small{\dfrac{1}{2}}}e^{-\small{\dfrac{u}{2}}}$

$あらためて　u \rightarrow x \ と置き換えて$

$\qquad f_1(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}x^{-\small{\dfrac{1}{2}}}e^{-\small{\dfrac{x}{2}}}$

$これを、自由度1の\chi ^2 分布といい、\chi _1 ^2 \ とあらわします。$

$グラフは右図のとおりです。$



　

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