千葉大学(理系) 2020年　問題5


$複素数平面上で複素数 \ 0,\ \sqrt{3},\ \sqrt{3}+i\ を表す点をそれぞれ \ A_1,\ B_0,\ B_1\ とする。正の整数nに対して、$
$点A_{n+1}は線分A_nB_nの中点とし、点B_{n+1}は直線A_nB_nに関して点B_{n-1}の反対側にあり、三角形A_{n+1}B_nB_{n+1}が$
$三角形A_1B_0B_1と相似になるものとする。点A_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ が表す複素数を \ z_n \ とする。$
$\ (1)\ \ 複素数 \ z_3\ を求めよ。$
$\ (2)\ \ 複素数 \ z_6\ を求めよ。$
$\ (3)\ \ 正の整数mに対して、複素数 \ z_{6m} の実部と虚部を求めよ。$


$(解説)$

$(1)\ \ 設問の内容を図に書けば各点の位置関係がよくわかります。$
$(2)\ \ 繰返しの操作は漸化式を用いると簡潔に表現できることがあります。この問題もそうです。$
$(3)\ \ \ z_{6m} について実部と虚部に分けて求めさせる意図がわかりません。$
$\qquad (1),(2)のように単に「複素数 \ z_{6m}\ を求めよ」でよいと思うのですが。$

(1)

　
$点B_n \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots )が表す複素数を \ w_n\ とし、$
$\alpha=\cos 30°+i\sin 30°=\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{1}{2}i\ \ とおく。$
$\quad w_0=\sqrt{3},\qquad w_1=\sqrt{3}+i$

$A_2(z_2)はA_1(z_1)とB_1(w_1)の中点だから$

$\quad z_2=\cfrac{\sqrt{3}+i}{2}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{1}{2}i=\alpha$

$\vec{A_2A_3}は\vec{A_2B_1}を点A_2(z_2)の回りに30°回転し、\cfrac{1}{\sqrt{3}}倍すればよいから$

$\qquad z_3-z_2=(w_1-z_2)\cdot \cfrac{\alpha}{\sqrt{3}}=(z_2-z_1)\cdot \cfrac{\alpha}{\sqrt{3}}=z_2 \cdot \cfrac{\alpha}{\sqrt{3}}$

$したがって$
\begin{eqnarray*} z_3 &=&z_2+z_2 \cdot \cfrac{\alpha}{\sqrt{3}}\\ &=&\alpha + \cfrac{\alpha ^2}{\sqrt{3}}\\ &=&(\cos 30°+i\sin 30°)+\cfrac{1}{\sqrt{3}}(\cos 60°+i\sin 60°)\\ \\ &=&(\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{1}{2}i)+\cfrac{1}{\sqrt{3}}(\cfrac{1}{2}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}i)\\ \\ &=&\cfrac{2\sqrt{3}}{3}+ i\\ \end{eqnarray*}

(2)

　
$\vec{A_nA_{n+1}}は\vec{A_nB_{n-1}}を点A_n(z_n)の回りに30°回転し、\cfrac{1}{\sqrt{3}}倍すればよいから$

$\quad z_{n+1}-z_n=(w_{n-1}-z_{n})\cdot \cfrac{\alpha}{\sqrt{3}}=(z_n-z_{n-1})\cdot \cfrac{\alpha}{\sqrt{3}}$

$\{z_{n+1}-z_n\}\ \ は公比 \ \ \cfrac{\alpha}{\sqrt{3}}、初項 \ \ z_2-z_1=z_2=\alpha \ \ の等比数列だから$

$\qquad z_{n+1}-z_n =\alpha \big(\cfrac{\alpha}{\sqrt{3}}\big)^{n-1}$
\[z_n=z_1+\sum_{k=1}^{n-1}\alpha \big(\cfrac{\alpha}{\sqrt{3}}\big)^{k-1}=\cfrac{\alpha \big\{1-(\dfrac{\alpha}{\sqrt{3}})^{n-1}\big\}}{1-\dfrac{\alpha}{\sqrt{3}}}\] $したがって$

$\quad z_6=\cfrac{\alpha \big\{1-(\cfrac{\alpha}{\sqrt{3}})^5\big\}}{1-\cfrac{\alpha}{\sqrt{3}}}$

$\quad \alpha=\cos \cfrac{\pi}{6}+i\sin \cfrac{\pi}{6} \quad より \quad \alpha ^5=\cos \cfrac{5\pi}{6}+i\sin \cfrac{5\pi}{6}=-\cos \cfrac{\pi}{6}+i\sin \cfrac{\pi}{6}=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{1}{2}i \quad だから$

\begin{eqnarray*} z_6 &=&\cfrac{(\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{1}{2}i)\Big(1-\dfrac{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i}{9\sqrt{3}}\Big) }{1-\cfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i}{\sqrt{3}} }\\ \\ &=&\cfrac{(\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{1}{2}i)\Big(\sqrt{3}-\dfrac{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i}{9}\Big) }{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i}\\ \\ &=&\cfrac{(\sqrt{3}+i)(9\sqrt{3}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}-\cfrac{1}{2}i) }{9(\sqrt{3} -i)}\\ \\ &=&\cfrac{(\sqrt{3}+i)(18\sqrt{3}+\sqrt{3}-i) }{18(\sqrt{3} -i)}\\ \\ &=&\cfrac{(\sqrt{3}+i)^2(19\sqrt{3}-i) }{18\times 4}\\ \\ &=&\cfrac{(2+2\sqrt{3}i)(19\sqrt{3}-i) }{18\times 4}\\ \\ &=&\cfrac{(1+\sqrt{3}i)(19\sqrt{3}-i) }{36}\\ \\ &=&\cfrac{5\sqrt{3}+14i}{9}\\ \end{eqnarray*}

(3)


$\qquad z_{6m}=\cfrac{\alpha \big\{1-(\cfrac{\alpha}{\sqrt{3}})^{6m-1}\big\}}{1-\cfrac{\alpha}{\sqrt{3}}} \quad において$
\begin{eqnarray*} 分子 &=&\alpha -(\cfrac{1}{\sqrt{3}})^{6m-1} \alpha ^{6m}\\ \\ &=&\alpha -(\cfrac{1}{\sqrt{3}})^{6m} \cdot \sqrt{3}\cdot (\cos m\pi+i\sin m\pi)\\ \\ &=&\alpha -\cfrac{\sqrt{3}}{27^m}\cdot (\cos m\pi+i\sin m\pi)\\ \\ &=&\alpha -\cfrac{\sqrt{3}}{27^m} \cos m\pi\\ \\ \end{eqnarray*}
$したがって$
\begin{eqnarray*} z_{6m} &=&\cfrac{\alpha -\cfrac{\sqrt{3}}{27^m} \cos m\pi}{1-\cfrac{\alpha}{\sqrt{3}}}\\ \\ &=&\cfrac{\sqrt{3}\alpha -\cfrac{3}{27^m} \cos m\pi}{\sqrt{3}-\alpha}\\ \\ &=&\cfrac{\sqrt{3}(\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{1}{2}i)-\cfrac{3}{27^m} \cos m\pi}{\sqrt{3}-(\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{1}{2}i)}\\ \\ &=&\cfrac{\cfrac{3}{2}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}i-\cfrac{3}{27^m} \cos m\pi}{\cfrac{\sqrt{3}}{2}-\cfrac{1}{2}i}\\ \\ &=&\cfrac{(\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{1}{2}i)(\cfrac{3}{2}-\cfrac{3}{27^m} \cos m\pi +\cfrac{\sqrt{3}}{2}i) }{\cfrac{3}{4}+\cfrac{1}{4}}\\ \\ &=&\cfrac{\sqrt{3}}{2}(\cfrac{3}{2}-\cfrac{3}{27^m} \cos m\pi) -\cfrac{\sqrt{3}}{4} +i(\cfrac{3}{4}+\cfrac{3}{4}- \cfrac{3}{2\cdot 27^m} \cos m\pi)\\ \\ &=&\cfrac{\sqrt{3}}{2}-\cfrac{3\sqrt{3}}{2\cdot 27^m} \cos m\pi +i(\cfrac{3}{2}- \cfrac{3}{2\cdot 27^m} \cos m\pi)\\ \end{eqnarray*}
$ここで$
\[ \hspace{1em} \cos m\pi= \left\{ \begin{array}{l} -1 \hspace{4em}(mが奇数)\\ 1 \hspace{5em}(mが偶数)\\ \end{array} \right. \] $より \quad \cos m\pi=(-1)^m \quad とかける。$

$したがって$

$z_{6m}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}-\cfrac{3\sqrt{3}}{2\cdot (-27)^m} +i(\cfrac{3}{2}- \cfrac{3}{2\cdot (-27)^m} )$


$(補充)$

$m \rightarrow \infty \quad とすると \quad z_{6m} \rightarrow \cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{3}{2}i$

$一般に、z_n=\cfrac{\alpha \big\{1-(\dfrac{\alpha}{\sqrt{3}})^{n-1}\big\}}{1-\dfrac{\alpha}{\sqrt{3}}} \quad において \quad |\cfrac{\alpha}{\sqrt{3}}|=\cfrac{|\alpha|}{\sqrt{3}}=\cfrac{1}{\sqrt{3}} < 1 \quad だから \quad n \rightarrow \infty \quad とすると$

$Z_n \ は \ \ z_0=\cfrac{\alpha}{1-\dfrac{\alpha}{\sqrt{3}}} \quad に収束する。 (このことについては($複素数列の収束条件$)を参考にしてください。)$

$\quad z_0=\cfrac{\alpha}{1-\dfrac{\alpha}{\sqrt{3}}}= \cfrac{\sqrt{3}(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i)}{\sqrt{3}-(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i)}= \dfrac{\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i}= \cfrac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+i)}{\sqrt{3}-i}= \cfrac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+i)^2}{4}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{3}{2}i$



ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る